Konrad Königsberger
Analysis 1
Konrad Königsberger
Analysis 1
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Dieses Lehrbuch umfaßt knapp und präzise den kanonischen Stoff der Analysiskurse des ersten Semesters.Darüber hinaus behandelt es einfache Differentialgleichungen und Fourierreihen. Eingeflochten sind auch einige Perlen der klassischen Analysis. Sachbezogene Motivationen, zahlreiche Beispiele und historische Anmerkungen, sowie die mehr als 100 Abbildungen machen die Darstellung besonders attraktiv. Diese dritte Auflage wurde vom Autor gründlich überarbeitet und an einigen Stellen erweitert.
Dieses Lehrbuch umfaßt knapp und präzise den kanonischen Stoff der Analysiskurse des ersten Semesters.Darüber hinaus behandelt es einfache Differentialgleichungen und Fourierreihen. Eingeflochten sind auch einige Perlen der klassischen Analysis. Sachbezogene Motivationen, zahlreiche Beispiele und historische Anmerkungen, sowie die mehr als 100 Abbildungen machen die Darstellung besonders attraktiv. Diese dritte Auflage wurde vom Autor gründlich überarbeitet und an einigen Stellen erweitert.
Produktdetails
- Produktdetails
- Verlag: Springer Berlin
- ISBN-13: 9783540588764
- ISBN-10: 3540588760
- Artikelnr.: 24632054
- Verlag: Springer Berlin
- ISBN-13: 9783540588764
- ISBN-10: 3540588760
- Artikelnr.: 24632054
1 Natürliche Zahlen und vollständige Induktion
1.1 Vollständige Induktion
1.2 Fakultät und Binomialkoeffizienten
1.3 Aufgaben
2 Reelle Zahlen
2.1 Die Körperstruktur von $$ \mathbb{R} $$
2.2 Die Anordnung von $$ \mathbb{R} $$
2.3 Die Vollständigkeit von $$ \mathbb{R} $$
2.4 R ist nicht abzählbar
2.5 Aufgaben
3 Komplexe Zahlen
3.1 Der Körper der komplexen Zahlen
3.2 Die komplexe Zahlenebene
3.3 Algebraische Gleichungen in
3.4 Unmöglichkeit einer Anordnung von ?
3.5 Aufgaben
4 Funktionen
4.1 Grundbegriffe
4.2 Polynome
4.3 Rationale Funktionen
4.4 Aufgaben
5 Folgen
5.1 Konvergenz von Folgen
5.2 Rechenregeln
5.3 Monotone Folgen
5.4 Eine Rekursionsfolge zur Berechnung von Quadratwurzeln
5.5 Der Satz von Bolzano-Weierstraß
5.6 Das Konvergenzkriterium von Bolzano-Cauchy. Nochmals die Vollständigkeit von $$ \mathbb{R} $$
5.7 Uneigentliche Konvergenz
5.8 Aufgaben
6 Reihen
6.1 Konvergenz von Reihen
6.2 Konvergenzkriterien
6.3 Summierbare Familien
6.4 Potenzreihen
6.5 Aufgaben
7 Stetige Funktionen. Grenzwerte
7.1 Stetigkeit
7.2 Rechnen mit stetigen Funktionen
7.3 Erzeugung stetiger Funktionen durch normal konvergente Reihen
7.4 Stetige reelle Funktionen auf Intervallen. Der Zwischenwertsatz
7.5 Stetige Funktionen auf kompakten Mengen. Satz vom Maximum und Minimum
7.6 Anwendung: Beweis des Fundamentalsatzes der Algebra
7.7 Stetige Fortsetzung. Grenzwerte von Funktionen
7.8 Einseitige Grenzwerte. Uneigentliche Grenzwerte
7.9 Aufgaben
8 Die Exponentialfunktion und die trigonometrischen Funktionen
8.1 Definition der Exponentialfunktion
8.2 Die Exponentialfunktion für reelle Argumente
8.3 Der natürliche Logarithmus
8.4 Exponentialfunktionen zu allgemeinen Basen. Allgemeine Potenzen
8.5 Binomialreihen und Logarithmusreihe
8.6 Definition der trigonometrischen Funktionen
8.7 Nullstellen und Periodizität
8.8 Die Arcus-Funktionen
8.9 Polarkoordinaten
8.10 Geometrie der Exponentialabbildung. Hauptzweig des komplexen Logarithmus und des Arcustangens
8.11 Die Zahl ?
8.12 Die hyperbolischen Funktionen
8.13 Aufgaben
9 Differentialrechnung
9.1 Die Ableitung einer Funktion
9.2 Ableitungsregeln
9.3 Mittelwertsatz und Schrankensatz
9.4 Beispiele und Anwendungen
9.5 Reihen differenzierbarer Funktionen
9.6 Ableitungen höherer Ordnung
9.7 Konvexität
9.8 Konvexe Funktionen und Ungleichungen
9.9 Fast überall differenzierbare Funktionen. Verallgemeinerter Schrankensatz
9.10 Begriff der Stammfunktion
9.11 Eine auf ganz $$ \mathbb{R} $$ stetige, aber nirgends differenzierbare Funktion
9.12 Aufgaben
10 Lineare Differentialgleichungen mit konstanten Koeffizienten
10.1 Einführende Feststellungen
10.2 Der Eindeutigkeitssatz
10.3 Ein Fundamentalsystem für die homogene Gleichung
10.4 Berechnung einer partikulären Lösung bei speziellen Inhomogenitäten
10.5 Anwendung auf Schwingungsprobleme
10.6 Partikuläre Lösungen bei allgemeinen Inhomogenitäten. Erweiterung des Lösungsbegriffes
10.7 Aufgaben
11 Integralrechnung
11.1 Treppenfunktionen und ihre Integration
11.2 Regelfunktionen
11.3 Integration der Regelfunktionen über kompakte Intervalle
11.4 Der Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung. Stammfunktionen zu Regelfunktionen
11.5 Erste Anwendungen
11.6 Integration elementarer Funktionen
11.7 Integration normal konvergenter Reihen
11.8 Riemannsche Summen
11.9 Integration über nicht kompakte Intervalle. Uneigentliche Integrale
11.10 Die Eulersche Summationsformel
11.11 Aufgaben
12 Geometrie differenzierbarer Kurven
12.1 Parametrisierte Kurven
12.2 Die Bogenlänge
12.3 Parameterwechsel
12.4 Krümmung ebener Kurven
12.5 Die Sektorfläche
12.6 Windungszahlen
12.7 Kurven in Polarkoordinaten
12.8 Geometrie der Planetenbewegung. Die drei Keplerschen Gesetze
12.9 Aufgaben
13 Elementar integrierbare Differentialgleichungen
13.1 Wachstumsmodelle. Lineare und Bernoullische Gleichungen..
13.2 Differentialgleichungen mit getrennten Veränderlichen
13.3 Nicht-lineare Schwingungen. Die Differentialgleichung $$ \ddot{x} = f(x) $$
13.4 Aufgaben
14 Lokale Approximation von Funktionen. Taylorpolynome und Taylorreihen
14.1 Approximation durch Taylorpolynome
14.2 Taylorreihen. Rechnen mit Potenzreihen
14.3 Bernoulli-Zahlen und Cotangensreihe.
Die Bernoulli-Polynome
14.4 Das Newton-Verfahren
14.5 Aufgaben
15 Globale Approximation von Funktionen. Gleichmäßige Konvergenz
15.1 Gleichmäßige Konvergenz
15.2 Vertauschungssätze
15.3 Kriterien für gleichmäßige Konvergenz
15.4 Anwendung: die Eulerschen Formeln für ?(2n)
15.5 Lokal gleichmäßige Konvergenz
15.6 Der Weierstraßsche Approximationssatz
15.7 Aufgaben
16 Die Gammafunktion
16.1 Die Gammafunktion nach Gauß
16.2 Charakterisierung der IT-Funktion nach Bohr-Mollerup. Die Eulersche Integraldarstellung
16.3 Die Stirlingsche Formel
16.4 Aufgaben
17 Approximation periodischer Funktionen. Fourierreihen
17.1 Der Weierstraßsche Approximationssatz für periodische Funktionen
17.2 Definition der Fourierreihen. Der Identitätssatz
17.3 Anwendung: die Partialbruchreihe des Cotangens
17.4 Punktweise Konvergenz nach Dirichlet
17.5 Die Besselsche Approximation periodischer Funktionen
17.6 Anwendung: Fourierreihen stückweise stetig differenzierbarer Funktionen
17.7 Konvergenz im quadratischen Mittel. Die Parsevalsche Gleichung
17.8 Anwendung: das isoperimetrische Problem
17.9 Wärmeleitung in einem Ring. Die Thetafunktion
17.10 Aufgaben
Biographische Notiz zu Euler
Literaturhinweise
Bezeichnungen
Namen- und Sachverzeichnis
1.1 Vollständige Induktion
1.2 Fakultät und Binomialkoeffizienten
1.3 Aufgaben
2 Reelle Zahlen
2.1 Die Körperstruktur von $$ \mathbb{R} $$
2.2 Die Anordnung von $$ \mathbb{R} $$
2.3 Die Vollständigkeit von $$ \mathbb{R} $$
2.4 R ist nicht abzählbar
2.5 Aufgaben
3 Komplexe Zahlen
3.1 Der Körper der komplexen Zahlen
3.2 Die komplexe Zahlenebene
3.3 Algebraische Gleichungen in
3.4 Unmöglichkeit einer Anordnung von ?
3.5 Aufgaben
4 Funktionen
4.1 Grundbegriffe
4.2 Polynome
4.3 Rationale Funktionen
4.4 Aufgaben
5 Folgen
5.1 Konvergenz von Folgen
5.2 Rechenregeln
5.3 Monotone Folgen
5.4 Eine Rekursionsfolge zur Berechnung von Quadratwurzeln
5.5 Der Satz von Bolzano-Weierstraß
5.6 Das Konvergenzkriterium von Bolzano-Cauchy. Nochmals die Vollständigkeit von $$ \mathbb{R} $$
5.7 Uneigentliche Konvergenz
5.8 Aufgaben
6 Reihen
6.1 Konvergenz von Reihen
6.2 Konvergenzkriterien
6.3 Summierbare Familien
6.4 Potenzreihen
6.5 Aufgaben
7 Stetige Funktionen. Grenzwerte
7.1 Stetigkeit
7.2 Rechnen mit stetigen Funktionen
7.3 Erzeugung stetiger Funktionen durch normal konvergente Reihen
7.4 Stetige reelle Funktionen auf Intervallen. Der Zwischenwertsatz
7.5 Stetige Funktionen auf kompakten Mengen. Satz vom Maximum und Minimum
7.6 Anwendung: Beweis des Fundamentalsatzes der Algebra
7.7 Stetige Fortsetzung. Grenzwerte von Funktionen
7.8 Einseitige Grenzwerte. Uneigentliche Grenzwerte
7.9 Aufgaben
8 Die Exponentialfunktion und die trigonometrischen Funktionen
8.1 Definition der Exponentialfunktion
8.2 Die Exponentialfunktion für reelle Argumente
8.3 Der natürliche Logarithmus
8.4 Exponentialfunktionen zu allgemeinen Basen. Allgemeine Potenzen
8.5 Binomialreihen und Logarithmusreihe
8.6 Definition der trigonometrischen Funktionen
8.7 Nullstellen und Periodizität
8.8 Die Arcus-Funktionen
8.9 Polarkoordinaten
8.10 Geometrie der Exponentialabbildung. Hauptzweig des komplexen Logarithmus und des Arcustangens
8.11 Die Zahl ?
8.12 Die hyperbolischen Funktionen
8.13 Aufgaben
9 Differentialrechnung
9.1 Die Ableitung einer Funktion
9.2 Ableitungsregeln
9.3 Mittelwertsatz und Schrankensatz
9.4 Beispiele und Anwendungen
9.5 Reihen differenzierbarer Funktionen
9.6 Ableitungen höherer Ordnung
9.7 Konvexität
9.8 Konvexe Funktionen und Ungleichungen
9.9 Fast überall differenzierbare Funktionen. Verallgemeinerter Schrankensatz
9.10 Begriff der Stammfunktion
9.11 Eine auf ganz $$ \mathbb{R} $$ stetige, aber nirgends differenzierbare Funktion
9.12 Aufgaben
10 Lineare Differentialgleichungen mit konstanten Koeffizienten
10.1 Einführende Feststellungen
10.2 Der Eindeutigkeitssatz
10.3 Ein Fundamentalsystem für die homogene Gleichung
10.4 Berechnung einer partikulären Lösung bei speziellen Inhomogenitäten
10.5 Anwendung auf Schwingungsprobleme
10.6 Partikuläre Lösungen bei allgemeinen Inhomogenitäten. Erweiterung des Lösungsbegriffes
10.7 Aufgaben
11 Integralrechnung
11.1 Treppenfunktionen und ihre Integration
11.2 Regelfunktionen
11.3 Integration der Regelfunktionen über kompakte Intervalle
11.4 Der Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung. Stammfunktionen zu Regelfunktionen
11.5 Erste Anwendungen
11.6 Integration elementarer Funktionen
11.7 Integration normal konvergenter Reihen
11.8 Riemannsche Summen
11.9 Integration über nicht kompakte Intervalle. Uneigentliche Integrale
11.10 Die Eulersche Summationsformel
11.11 Aufgaben
12 Geometrie differenzierbarer Kurven
12.1 Parametrisierte Kurven
12.2 Die Bogenlänge
12.3 Parameterwechsel
12.4 Krümmung ebener Kurven
12.5 Die Sektorfläche
12.6 Windungszahlen
12.7 Kurven in Polarkoordinaten
12.8 Geometrie der Planetenbewegung. Die drei Keplerschen Gesetze
12.9 Aufgaben
13 Elementar integrierbare Differentialgleichungen
13.1 Wachstumsmodelle. Lineare und Bernoullische Gleichungen..
13.2 Differentialgleichungen mit getrennten Veränderlichen
13.3 Nicht-lineare Schwingungen. Die Differentialgleichung $$ \ddot{x} = f(x) $$
13.4 Aufgaben
14 Lokale Approximation von Funktionen. Taylorpolynome und Taylorreihen
14.1 Approximation durch Taylorpolynome
14.2 Taylorreihen. Rechnen mit Potenzreihen
14.3 Bernoulli-Zahlen und Cotangensreihe.
Die Bernoulli-Polynome
14.4 Das Newton-Verfahren
14.5 Aufgaben
15 Globale Approximation von Funktionen. Gleichmäßige Konvergenz
15.1 Gleichmäßige Konvergenz
15.2 Vertauschungssätze
15.3 Kriterien für gleichmäßige Konvergenz
15.4 Anwendung: die Eulerschen Formeln für ?(2n)
15.5 Lokal gleichmäßige Konvergenz
15.6 Der Weierstraßsche Approximationssatz
15.7 Aufgaben
16 Die Gammafunktion
16.1 Die Gammafunktion nach Gauß
16.2 Charakterisierung der IT-Funktion nach Bohr-Mollerup. Die Eulersche Integraldarstellung
16.3 Die Stirlingsche Formel
16.4 Aufgaben
17 Approximation periodischer Funktionen. Fourierreihen
17.1 Der Weierstraßsche Approximationssatz für periodische Funktionen
17.2 Definition der Fourierreihen. Der Identitätssatz
17.3 Anwendung: die Partialbruchreihe des Cotangens
17.4 Punktweise Konvergenz nach Dirichlet
17.5 Die Besselsche Approximation periodischer Funktionen
17.6 Anwendung: Fourierreihen stückweise stetig differenzierbarer Funktionen
17.7 Konvergenz im quadratischen Mittel. Die Parsevalsche Gleichung
17.8 Anwendung: das isoperimetrische Problem
17.9 Wärmeleitung in einem Ring. Die Thetafunktion
17.10 Aufgaben
Biographische Notiz zu Euler
Literaturhinweise
Bezeichnungen
Namen- und Sachverzeichnis
1 Natürliche Zahlen und vollständige Induktion.- 2 Reelle Zahlen.- 3 Komplexe Zahlen.- 4 Funktionen.- 5 Folgen.- 6 Reihen.- 7 Stetige Funktionen. Grenzwerte.- 8 Die Exponentialfunktionund die trigonometrischen Funktionen.- 9 Differentialrechnung.- 10 Lineare Differentialgleichungen.- 11 Integralrechnung.- 12 Geometrie differenzierbarer Kurven.- 13 Elementar integrierbare Differentialgleichungen.- 14 Lokale Approximation von Funktionen. Taylorpolynome und Taylorreihen.- 15 Globale Approximation von Funktionen. Gleichmäßige Konvergenz.- 16 Approximation periodischer Funktionen. Fourierreihen.- 17 Die Gammafunktion.- Biographische Notiz zu Ewer.- Lösungen zu den Aufgaben.- Literatur.- Bezeichnungen.- Namen- und Sachverzeichnis.
1 Natürliche Zahlen und vollständige Induktion
1.1 Vollständige Induktion
1.2 Fakultät und Binomialkoeffizienten
1.3 Aufgaben
2 Reelle Zahlen
2.1 Die Körperstruktur von $$ \mathbb{R} $$
2.2 Die Anordnung von $$ \mathbb{R} $$
2.3 Die Vollständigkeit von $$ \mathbb{R} $$
2.4 R ist nicht abzählbar
2.5 Aufgaben
3 Komplexe Zahlen
3.1 Der Körper der komplexen Zahlen
3.2 Die komplexe Zahlenebene
3.3 Algebraische Gleichungen in
3.4 Unmöglichkeit einer Anordnung von ?
3.5 Aufgaben
4 Funktionen
4.1 Grundbegriffe
4.2 Polynome
4.3 Rationale Funktionen
4.4 Aufgaben
5 Folgen
5.1 Konvergenz von Folgen
5.2 Rechenregeln
5.3 Monotone Folgen
5.4 Eine Rekursionsfolge zur Berechnung von Quadratwurzeln
5.5 Der Satz von Bolzano-Weierstraß
5.6 Das Konvergenzkriterium von Bolzano-Cauchy. Nochmals die Vollständigkeit von $$ \mathbb{R} $$
5.7 Uneigentliche Konvergenz
5.8 Aufgaben
6 Reihen
6.1 Konvergenz von Reihen
6.2 Konvergenzkriterien
6.3 Summierbare Familien
6.4 Potenzreihen
6.5 Aufgaben
7 Stetige Funktionen. Grenzwerte
7.1 Stetigkeit
7.2 Rechnen mit stetigen Funktionen
7.3 Erzeugung stetiger Funktionen durch normal konvergente Reihen
7.4 Stetige reelle Funktionen auf Intervallen. Der Zwischenwertsatz
7.5 Stetige Funktionen auf kompakten Mengen. Satz vom Maximum und Minimum
7.6 Anwendung: Beweis des Fundamentalsatzes der Algebra
7.7 Stetige Fortsetzung. Grenzwerte von Funktionen
7.8 Einseitige Grenzwerte. Uneigentliche Grenzwerte
7.9 Aufgaben
8 Die Exponentialfunktion und die trigonometrischen Funktionen
8.1 Definition der Exponentialfunktion
8.2 Die Exponentialfunktion für reelle Argumente
8.3 Der natürliche Logarithmus
8.4 Exponentialfunktionen zu allgemeinen Basen. Allgemeine Potenzen
8.5 Binomialreihen und Logarithmusreihe
8.6 Definition der trigonometrischen Funktionen
8.7 Nullstellen und Periodizität
8.8 Die Arcus-Funktionen
8.9 Polarkoordinaten
8.10 Geometrie der Exponentialabbildung. Hauptzweig des komplexen Logarithmus und des Arcustangens
8.11 Die Zahl ?
8.12 Die hyperbolischen Funktionen
8.13 Aufgaben
9 Differentialrechnung
9.1 Die Ableitung einer Funktion
9.2 Ableitungsregeln
9.3 Mittelwertsatz und Schrankensatz
9.4 Beispiele und Anwendungen
9.5 Reihen differenzierbarer Funktionen
9.6 Ableitungen höherer Ordnung
9.7 Konvexität
9.8 Konvexe Funktionen und Ungleichungen
9.9 Fast überall differenzierbare Funktionen. Verallgemeinerter Schrankensatz
9.10 Begriff der Stammfunktion
9.11 Eine auf ganz $$ \mathbb{R} $$ stetige, aber nirgends differenzierbare Funktion
9.12 Aufgaben
10 Lineare Differentialgleichungen mit konstanten Koeffizienten
10.1 Einführende Feststellungen
10.2 Der Eindeutigkeitssatz
10.3 Ein Fundamentalsystem für die homogene Gleichung
10.4 Berechnung einer partikulären Lösung bei speziellen Inhomogenitäten
10.5 Anwendung auf Schwingungsprobleme
10.6 Partikuläre Lösungen bei allgemeinen Inhomogenitäten. Erweiterung des Lösungsbegriffes
10.7 Aufgaben
11 Integralrechnung
11.1 Treppenfunktionen und ihre Integration
11.2 Regelfunktionen
11.3 Integration der Regelfunktionen über kompakte Intervalle
11.4 Der Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung. Stammfunktionen zu Regelfunktionen
11.5 Erste Anwendungen
11.6 Integration elementarer Funktionen
11.7 Integration normal konvergenter Reihen
11.8 Riemannsche Summen
11.9 Integration über nicht kompakte Intervalle. Uneigentliche Integrale
11.10 Die Eulersche Summationsformel
11.11 Aufgaben
12 Geometrie differenzierbarer Kurven
12.1 Parametrisierte Kurven
12.2 Die Bogenlänge
12.3 Parameterwechsel
12.4 Krümmung ebener Kurven
12.5 Die Sektorfläche
12.6 Windungszahlen
12.7 Kurven in Polarkoordinaten
12.8 Geometrie der Planetenbewegung. Die drei Keplerschen Gesetze
12.9 Aufgaben
13 Elementar integrierbare Differentialgleichungen
13.1 Wachstumsmodelle. Lineare und Bernoullische Gleichungen..
13.2 Differentialgleichungen mit getrennten Veränderlichen
13.3 Nicht-lineare Schwingungen. Die Differentialgleichung $$ \ddot{x} = f(x) $$
13.4 Aufgaben
14 Lokale Approximation von Funktionen. Taylorpolynome und Taylorreihen
14.1 Approximation durch Taylorpolynome
14.2 Taylorreihen. Rechnen mit Potenzreihen
14.3 Bernoulli-Zahlen und Cotangensreihe.
Die Bernoulli-Polynome
14.4 Das Newton-Verfahren
14.5 Aufgaben
15 Globale Approximation von Funktionen. Gleichmäßige Konvergenz
15.1 Gleichmäßige Konvergenz
15.2 Vertauschungssätze
15.3 Kriterien für gleichmäßige Konvergenz
15.4 Anwendung: die Eulerschen Formeln für ?(2n)
15.5 Lokal gleichmäßige Konvergenz
15.6 Der Weierstraßsche Approximationssatz
15.7 Aufgaben
16 Die Gammafunktion
16.1 Die Gammafunktion nach Gauß
16.2 Charakterisierung der IT-Funktion nach Bohr-Mollerup. Die Eulersche Integraldarstellung
16.3 Die Stirlingsche Formel
16.4 Aufgaben
17 Approximation periodischer Funktionen. Fourierreihen
17.1 Der Weierstraßsche Approximationssatz für periodische Funktionen
17.2 Definition der Fourierreihen. Der Identitätssatz
17.3 Anwendung: die Partialbruchreihe des Cotangens
17.4 Punktweise Konvergenz nach Dirichlet
17.5 Die Besselsche Approximation periodischer Funktionen
17.6 Anwendung: Fourierreihen stückweise stetig differenzierbarer Funktionen
17.7 Konvergenz im quadratischen Mittel. Die Parsevalsche Gleichung
17.8 Anwendung: das isoperimetrische Problem
17.9 Wärmeleitung in einem Ring. Die Thetafunktion
17.10 Aufgaben
Biographische Notiz zu Euler
Literaturhinweise
Bezeichnungen
Namen- und Sachverzeichnis
1.1 Vollständige Induktion
1.2 Fakultät und Binomialkoeffizienten
1.3 Aufgaben
2 Reelle Zahlen
2.1 Die Körperstruktur von $$ \mathbb{R} $$
2.2 Die Anordnung von $$ \mathbb{R} $$
2.3 Die Vollständigkeit von $$ \mathbb{R} $$
2.4 R ist nicht abzählbar
2.5 Aufgaben
3 Komplexe Zahlen
3.1 Der Körper der komplexen Zahlen
3.2 Die komplexe Zahlenebene
3.3 Algebraische Gleichungen in
3.4 Unmöglichkeit einer Anordnung von ?
3.5 Aufgaben
4 Funktionen
4.1 Grundbegriffe
4.2 Polynome
4.3 Rationale Funktionen
4.4 Aufgaben
5 Folgen
5.1 Konvergenz von Folgen
5.2 Rechenregeln
5.3 Monotone Folgen
5.4 Eine Rekursionsfolge zur Berechnung von Quadratwurzeln
5.5 Der Satz von Bolzano-Weierstraß
5.6 Das Konvergenzkriterium von Bolzano-Cauchy. Nochmals die Vollständigkeit von $$ \mathbb{R} $$
5.7 Uneigentliche Konvergenz
5.8 Aufgaben
6 Reihen
6.1 Konvergenz von Reihen
6.2 Konvergenzkriterien
6.3 Summierbare Familien
6.4 Potenzreihen
6.5 Aufgaben
7 Stetige Funktionen. Grenzwerte
7.1 Stetigkeit
7.2 Rechnen mit stetigen Funktionen
7.3 Erzeugung stetiger Funktionen durch normal konvergente Reihen
7.4 Stetige reelle Funktionen auf Intervallen. Der Zwischenwertsatz
7.5 Stetige Funktionen auf kompakten Mengen. Satz vom Maximum und Minimum
7.6 Anwendung: Beweis des Fundamentalsatzes der Algebra
7.7 Stetige Fortsetzung. Grenzwerte von Funktionen
7.8 Einseitige Grenzwerte. Uneigentliche Grenzwerte
7.9 Aufgaben
8 Die Exponentialfunktion und die trigonometrischen Funktionen
8.1 Definition der Exponentialfunktion
8.2 Die Exponentialfunktion für reelle Argumente
8.3 Der natürliche Logarithmus
8.4 Exponentialfunktionen zu allgemeinen Basen. Allgemeine Potenzen
8.5 Binomialreihen und Logarithmusreihe
8.6 Definition der trigonometrischen Funktionen
8.7 Nullstellen und Periodizität
8.8 Die Arcus-Funktionen
8.9 Polarkoordinaten
8.10 Geometrie der Exponentialabbildung. Hauptzweig des komplexen Logarithmus und des Arcustangens
8.11 Die Zahl ?
8.12 Die hyperbolischen Funktionen
8.13 Aufgaben
9 Differentialrechnung
9.1 Die Ableitung einer Funktion
9.2 Ableitungsregeln
9.3 Mittelwertsatz und Schrankensatz
9.4 Beispiele und Anwendungen
9.5 Reihen differenzierbarer Funktionen
9.6 Ableitungen höherer Ordnung
9.7 Konvexität
9.8 Konvexe Funktionen und Ungleichungen
9.9 Fast überall differenzierbare Funktionen. Verallgemeinerter Schrankensatz
9.10 Begriff der Stammfunktion
9.11 Eine auf ganz $$ \mathbb{R} $$ stetige, aber nirgends differenzierbare Funktion
9.12 Aufgaben
10 Lineare Differentialgleichungen mit konstanten Koeffizienten
10.1 Einführende Feststellungen
10.2 Der Eindeutigkeitssatz
10.3 Ein Fundamentalsystem für die homogene Gleichung
10.4 Berechnung einer partikulären Lösung bei speziellen Inhomogenitäten
10.5 Anwendung auf Schwingungsprobleme
10.6 Partikuläre Lösungen bei allgemeinen Inhomogenitäten. Erweiterung des Lösungsbegriffes
10.7 Aufgaben
11 Integralrechnung
11.1 Treppenfunktionen und ihre Integration
11.2 Regelfunktionen
11.3 Integration der Regelfunktionen über kompakte Intervalle
11.4 Der Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung. Stammfunktionen zu Regelfunktionen
11.5 Erste Anwendungen
11.6 Integration elementarer Funktionen
11.7 Integration normal konvergenter Reihen
11.8 Riemannsche Summen
11.9 Integration über nicht kompakte Intervalle. Uneigentliche Integrale
11.10 Die Eulersche Summationsformel
11.11 Aufgaben
12 Geometrie differenzierbarer Kurven
12.1 Parametrisierte Kurven
12.2 Die Bogenlänge
12.3 Parameterwechsel
12.4 Krümmung ebener Kurven
12.5 Die Sektorfläche
12.6 Windungszahlen
12.7 Kurven in Polarkoordinaten
12.8 Geometrie der Planetenbewegung. Die drei Keplerschen Gesetze
12.9 Aufgaben
13 Elementar integrierbare Differentialgleichungen
13.1 Wachstumsmodelle. Lineare und Bernoullische Gleichungen..
13.2 Differentialgleichungen mit getrennten Veränderlichen
13.3 Nicht-lineare Schwingungen. Die Differentialgleichung $$ \ddot{x} = f(x) $$
13.4 Aufgaben
14 Lokale Approximation von Funktionen. Taylorpolynome und Taylorreihen
14.1 Approximation durch Taylorpolynome
14.2 Taylorreihen. Rechnen mit Potenzreihen
14.3 Bernoulli-Zahlen und Cotangensreihe.
Die Bernoulli-Polynome
14.4 Das Newton-Verfahren
14.5 Aufgaben
15 Globale Approximation von Funktionen. Gleichmäßige Konvergenz
15.1 Gleichmäßige Konvergenz
15.2 Vertauschungssätze
15.3 Kriterien für gleichmäßige Konvergenz
15.4 Anwendung: die Eulerschen Formeln für ?(2n)
15.5 Lokal gleichmäßige Konvergenz
15.6 Der Weierstraßsche Approximationssatz
15.7 Aufgaben
16 Die Gammafunktion
16.1 Die Gammafunktion nach Gauß
16.2 Charakterisierung der IT-Funktion nach Bohr-Mollerup. Die Eulersche Integraldarstellung
16.3 Die Stirlingsche Formel
16.4 Aufgaben
17 Approximation periodischer Funktionen. Fourierreihen
17.1 Der Weierstraßsche Approximationssatz für periodische Funktionen
17.2 Definition der Fourierreihen. Der Identitätssatz
17.3 Anwendung: die Partialbruchreihe des Cotangens
17.4 Punktweise Konvergenz nach Dirichlet
17.5 Die Besselsche Approximation periodischer Funktionen
17.6 Anwendung: Fourierreihen stückweise stetig differenzierbarer Funktionen
17.7 Konvergenz im quadratischen Mittel. Die Parsevalsche Gleichung
17.8 Anwendung: das isoperimetrische Problem
17.9 Wärmeleitung in einem Ring. Die Thetafunktion
17.10 Aufgaben
Biographische Notiz zu Euler
Literaturhinweise
Bezeichnungen
Namen- und Sachverzeichnis
1 Natürliche Zahlen und vollständige Induktion.- 2 Reelle Zahlen.- 3 Komplexe Zahlen.- 4 Funktionen.- 5 Folgen.- 6 Reihen.- 7 Stetige Funktionen. Grenzwerte.- 8 Die Exponentialfunktionund die trigonometrischen Funktionen.- 9 Differentialrechnung.- 10 Lineare Differentialgleichungen.- 11 Integralrechnung.- 12 Geometrie differenzierbarer Kurven.- 13 Elementar integrierbare Differentialgleichungen.- 14 Lokale Approximation von Funktionen. Taylorpolynome und Taylorreihen.- 15 Globale Approximation von Funktionen. Gleichmäßige Konvergenz.- 16 Approximation periodischer Funktionen. Fourierreihen.- 17 Die Gammafunktion.- Biographische Notiz zu Ewer.- Lösungen zu den Aufgaben.- Literatur.- Bezeichnungen.- Namen- und Sachverzeichnis.