Das Buch wendet sich an Studenten, die mit den Grundlagen der Funktionentheorie, wie sie etwa in ,,Fischer/Lieb - Funktionentheorie" dargestellt werden, vertraut sind, und führt in wichtige Kapitel, vor allem der geometrischen Funktionentheorie, ein. Im Vordergrund stehen Resultate und Methoden der komplexen Analysis einer Veränderlichen, die in jüngster Zeit Vorbild für Entwicklungen in der mehrdimensionalen komplexen Analysis geworden sind. Dazu gehör en invariante Metriken, Hardy-Räume, Corona-Theorem, Randverhalte n konformer Abbildungen (Sätze von Carathéodory, Warschawski und H. A.…mehr
Das Buch wendet sich an Studenten, die mit den Grundlagen der Funktionentheorie, wie sie etwa in ,,Fischer/Lieb - Funktionentheorie" dargestellt werden, vertraut sind, und führt in wichtige Kapitel, vor allem der geometrischen Funktionentheorie, ein. Im Vordergrund stehen Resultate und Methoden der komplexen Analysis einer Veränderlichen, die in jüngster Zeit Vorbild für Entwicklungen in der mehrdimensionalen komplexen Analysis geworden sind. Dazu gehör en invariante Metriken, Hardy-Räume, Corona-Theorem, Randverhalte n konformer Abbildungen (Sätze von Carathéodory, Warschawski und H. A. Schwarz), Bergmansche und Szegösche Kernfunktion, potential theoretische Methoden. Diese Hilfsmittel und Ergebnisse erschließ en gleichzeitig den Zugang zu klassischen Theorien der komplexen Analysis, denen ein beträchtlicher Teil des Buches gewidmet is t: Uniformisierungstheorie (mittels Konstruktion Greenscher Funkt ionen), Schwarz-Christoffel-Formeln, Schwarzsche Dreiecksfunktion en, die hypergeometrische Differentialgleichung, elliptische Modu lfunktionen und Parametrisierung ebener Kubiken, Sätze von Picard , Bloch und Landau.
Prof. Dr. Ingo Lieb ist Professor für Mathematik an der Universität Bonn. Er ist Autor der beiden Bücher "Funktionentheorie" und "Ausgewählte Kapitel aus der Funktionentheorie" in der Reihe vieweg studium/Aufbaukurs Mathematik.
Inhaltsangabe
I Hermitische Metriken und normale Familien.- 1. Hermitische Metriken.- 2. Das Lemma von Ahlfors.- 3. Bedeckung von Kreisscheiben (Sätze von Bloch und Landau).- 4. Normale Familien.- 5. Die Sätze von Montel und Picard.- II Analytische Fortsetzung und Riemannsche Flächen.- 1. Analytische Fortsetzung und Homotopie.- 2. Die Fundamentalgruppe.- 3. Riemannsche Gebiete und vollständige analytische Fortsetzung.- 4. Riemannsche Flächen.- 5. Differentialformen.- 6. Die universelle Überlagerung einer Riemannschen Fläche.- 7. Verzweigungspunkte.- III Harmonische Funktionen und das Dirichlet-Problem.- 0. Differenzierbare Ränder und differenzierbare Funktionen.- 1. Harmonische Funktionen.- 2. Subharmonische Funktionen.- 3. Das Dirichlet-Problem.- 4. Glatt berandete Gebiete und das Hopf-Lemma.- 5. Der Hodge-Operator und die Greenschen Formeln.- 6. Die Greensche Funktion eines beschränkten Gebietes.- 7*. Die Fundamentallösung.- IV Der Uniformisierungssatz.- 1. Der Satz und die Beweismethode.- 2. Die Greensche Funktion einer Riemannschen Fläche.- 3. Der Abbildungssatz für positiv berandete Flächen.- 4. Harmonische Funktionen auf nicht positiv berandeten Flächen.- 5. Der Abbildungssatz für nullberandete Flächen.- 6. Anwendungen des Uniformisierungssatzes.- V Funktionentheorie im Einheitskreis.- 0. Integrierbarkeit.- 1. Das Poisson-Integral.- 2. Nichttangentiale Konvergenz.- 3. Hardy-Räume holomorpher Funktionen.- 4. Die Poisson-Jensen-Formel.- 5. Nullstellen.- 6. Nullstellen der Randfunktion.- 7. Der Raum H1.- 8. Das Corona-Theorem.- VI Spiegelungsprinzip und Dreiecksfunktionen.- 1. Stetige Fortsetzung konformer Abbildungen.- 2. Analytische Ränder.- 3. DasModulnetz und die Picardschen Sätze.- 4. Abbildungen von Kreisbogenpolygonen.- 5. Die hypergeometrische Differentialgleichung.- 6. Kreisbogendreiecke und die Blochsche Konstante.- 7. Modulfunktionen und Dreiecksgruppen.- 8. Modulfunktionen und elliptische Funktionen.- 9. Abbildungen durch elliptische Funktionen.- 10. Polyeder-Funktionen.- VII Hilberträume und konforme Abbildungen.- 1. Hilbertsche Funktionenräume.- 2. Holomorphe quadratintegrable Funktionen.- 3*. Orthonormalbasen im Bergman-Raum.- 4. Die Transformationsformel.- 5. Der Satz von Bell.- 6. Regularitätssätze für den Kreis.- 7. Der Satz von Painlevé-Warschawski.- 8. Potentialtheoretische Anwendungen.- 9*. Eine asymptotische Darstellung für die Bergman-Projektion.- 10*. Der Szegö-Kern.- 11*. Die Cauchy-Projektion.- 12*. Plemeljsche Formeln.- 13*. Cauchy-Kern, Szegö-Kern und Riemannsche Abbildungsfunktion.- Wichtige Bezeichnungen.- Namen- und Sachverzeichnis.
I Hermitische Metriken und normale Familien.- 1. Hermitische Metriken.- 2. Das Lemma von Ahlfors.- 3. Bedeckung von Kreisscheiben (Sätze von Bloch und Landau).- 4. Normale Familien.- 5. Die Sätze von Montel und Picard.- II Analytische Fortsetzung und Riemannsche Flächen.- 1. Analytische Fortsetzung und Homotopie.- 2. Die Fundamentalgruppe.- 3. Riemannsche Gebiete und vollständige analytische Fortsetzung.- 4. Riemannsche Flächen.- 5. Differentialformen.- 6. Die universelle Überlagerung einer Riemannschen Fläche.- 7. Verzweigungspunkte.- III Harmonische Funktionen und das Dirichlet-Problem.- 0. Differenzierbare Ränder und differenzierbare Funktionen.- 1. Harmonische Funktionen.- 2. Subharmonische Funktionen.- 3. Das Dirichlet-Problem.- 4. Glatt berandete Gebiete und das Hopf-Lemma.- 5. Der Hodge-Operator und die Greenschen Formeln.- 6. Die Greensche Funktion eines beschränkten Gebietes.- 7*. Die Fundamentallösung.- IV Der Uniformisierungssatz.- 1. Der Satz und die Beweismethode.- 2. Die Greensche Funktion einer Riemannschen Fläche.- 3. Der Abbildungssatz für positiv berandete Flächen.- 4. Harmonische Funktionen auf nicht positiv berandeten Flächen.- 5. Der Abbildungssatz für nullberandete Flächen.- 6. Anwendungen des Uniformisierungssatzes.- V Funktionentheorie im Einheitskreis.- 0. Integrierbarkeit.- 1. Das Poisson-Integral.- 2. Nichttangentiale Konvergenz.- 3. Hardy-Räume holomorpher Funktionen.- 4. Die Poisson-Jensen-Formel.- 5. Nullstellen.- 6. Nullstellen der Randfunktion.- 7. Der Raum H1.- 8. Das Corona-Theorem.- VI Spiegelungsprinzip und Dreiecksfunktionen.- 1. Stetige Fortsetzung konformer Abbildungen.- 2. Analytische Ränder.- 3. DasModulnetz und die Picardschen Sätze.- 4. Abbildungen von Kreisbogenpolygonen.- 5. Die hypergeometrische Differentialgleichung.- 6. Kreisbogendreiecke und die Blochsche Konstante.- 7. Modulfunktionen und Dreiecksgruppen.- 8. Modulfunktionen und elliptische Funktionen.- 9. Abbildungen durch elliptische Funktionen.- 10. Polyeder-Funktionen.- VII Hilberträume und konforme Abbildungen.- 1. Hilbertsche Funktionenräume.- 2. Holomorphe quadratintegrable Funktionen.- 3*. Orthonormalbasen im Bergman-Raum.- 4. Die Transformationsformel.- 5. Der Satz von Bell.- 6. Regularitätssätze für den Kreis.- 7. Der Satz von Painlevé-Warschawski.- 8. Potentialtheoretische Anwendungen.- 9*. Eine asymptotische Darstellung für die Bergman-Projektion.- 10*. Der Szegö-Kern.- 11*. Die Cauchy-Projektion.- 12*. Plemeljsche Formeln.- 13*. Cauchy-Kern, Szegö-Kern und Riemannsche Abbildungsfunktion.- Wichtige Bezeichnungen.- Namen- und Sachverzeichnis.
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