Lothar Heffter

Begründung der Funktionentheorie

Auf alten und neuen Wegen

• Broschiertes Buch

Produktbeschreibung

Unter "Begrundung der Funktionentheorie" verstehen wir die auf moglichst elementarem Weg gewonnene Darstellung einer Funktion f (z) == u (x, y) + iv(x, y) von z == x + yi durch gewohnliche Potenzreihen, wenn iiber f(z) gewisse moglichst elementare Voraussetzungen gemacht werden. Diese konnen sehr verschiedener Art sein. Wahrend aber wohl aIle Lehrbiicher der Funktionentheorie nur einen der beiden "klassi schen" Wege verfolgen, bei denen die Existenz der Ableitung f'(z) (GOURSAT) oder deren Existenz und Stetigkeit (CAUCHY) den Ausgangs punkt bildet, werden hier auBer jenen beiden noch vier andere Wege bis zu dem genannten Endziel gebahnt. Einer von ihnen (MORERA 1901,
26) wird hauptsachlich nur aus historischem Interesse durchgefuhrt. Die drei anderen ruhren in der vorliegenden Gestalt vom Verfasser her und gehen von geringeren Voraussetzungen aus als GOURSAT, d. h. der Existenz von f' (z). Nur einer von ihnen war schon in der Schrift "Kurven integrale und Begrundung der Funktionentheorie", Springer-Verlag 1948, enthalten. Damit war von mir ein Wunsch erfullt worden, in dem sich BOLZA, wie er mir erzahlte, 1912 in London mit HILBERT begegnet war. Wichtige Teile der Funktionentheorie beginnen erst nach der Be griindung, wenn man also schon im Besitz der Potenzreihen fur f(z) ist. Auf diese Teile gehen wir nicht mehr ein, da wir ja nicht ein "Lehrbuch der Funktionentheorie", sondern gewissermaBen nur den A nfang eines sol chen auf sehr verschiedenen Wegen liefern wollen. Abschnitt A bringt Vorkenntnisse, die unmittelbar oder mittelbar wirklich benutzt werden, und zwar mit Beweisen der angefuhrten Satze.

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Produktdetails

• Verlag: Springer / Springer Berlin Heidelberg / Springer, Berlin
• Artikelnr. des Verlages: 978-3-540-02553-5
• 2. Aufl.
• Seitenzahl: 76
• Erscheinungstermin: 1. Januar 1960
• Deutsch
• Abmessung: 235mm x 155mm x 5mm
• Gewicht: 136g
• ISBN-13: 9783540025535
• ISBN-10: 3540025537
• Artikelnr.: 39155746

Inhaltsangabe

A. Vorkenntnisse.-
1. Unendliche Folgen.-
2. Unendliche Reihen.-
3. Reelle Funktionen f(x) einer reellen Veränderlichen x.-
4. Bestimmtes Integral $$ intlimits_a^b {f(x)dx} $$.-
5. Das bestimmte Integral als Funktion der oberen Grenze und das unbestimmte Integral.-
6. Paare von reellen Veränderlichen x, y.-
7. Reelle Funktionen f (x, y) der reellen Veränderlichen x, y.-
8. Totale und partielle Differenzierbarkeit einer Funktion f (x, y).-
9. Treppenintegral $$intlimits_{a,alpha }^{b,beta } {(f(x,y)dx + g(x,y)dy)}$$.-
10. Flächenintegral einer Funktion f (x, y).-
11. Gausssche Sätze über Flächenintegral und Randintegral.-
12. Komplexe Funktionen einer komplexen Veränderlichen z ? x + yi.-
13. Komplexe Treppenintegrale $$intlimits_{{z_0}}^z {(f(z)dz}$$.-
14. Potenzreihen und ihr Konvergenzkreis.-
15. Eindeutigkeit, Stetigkeit und DifFerenzierbarkeit einer Potenzreihe.-
16. Gleichmäßige Konvergenz der Potenzreihe.- B. Sechs verschiedene Wege zur Begründung der Funktionentheorie.- I. Definition der "analytischen Funktion".-
17. Der historische Weg von Cauchy über Weierstrass zurück zu Cauchy.- II. Die Wege von Cauchy 1814 und Goursat 1900.-
18. Der (alte) Cauchysche Integralsatz.-
19. Der Goursatsche Integralsatz.-
20. Die Cauchysche Integralformel für f(z).-
21. Potenzreihendarstellung von f(z).- III. Der Weg von Looman-Menchoff.-
22. Der Satz von Looman-Menchoff und seine Geschichte.-
23. Beweis eines spezialisierten Satzes von Looman-Menchoff 1954.- IV. Ältere Wege bei Voraussetzung eindeutiger Integrierbarkeit von f (z).-
24. Der Satz von Morera von 1886.-
25. Der Weg von Osgood von 1896.-
26. Der Weg von Morera von 1901.- V. Der einfachste Weg bei Voraussetzung eindeutiger Integrierbarkeit von f(z) 1936.-
27. Achsenparallel eindeutige Integrierbarkeit von f dx + g dy.-
28. Achsenparallel eindeutige Integrierbarkeit von f(z).-
29. Der Hauptintegralsatz dieses Weges.- VI. Ein neuer Weg unter Benutzung von Polarkoordinaten 1951.-
30. Eine allgemeine Eigenschaft jeder analytischen Funktion f(z).-
31. Eine weitere derartige Eigenschaft jeder analytischen Funktion f (z).-
32. Ein entsprechender Eingang in die Funktionentheorie.-
33. Umformung der Voraussetzung in Kap. VI.- VII. Vergleich der Voraussetzungen in Kap. II-VI.-
34.Vergleich im einzelnen und allgemeine Bemerkungen.- C. Originalliteratur zur Geschichte der Begründung der Funktionentheorie.- Lehrwerke der Funktionentheorie.- Verzeichnis der gebrauchten Begriffe.