Im folgenden will ich zunächst über die Ziele der einzelnen acht Kapitel und die Vorgeschichte jener Fragestellungen berichten. Absichtlich ist im späteren Text durchweg vom Einheitskreis die Rede, in dieser Einleitung vom Kreise I x I
Im folgenden will ich zunächst über die Ziele der einzelnen acht Kapitel und die Vorgeschichte jener Fragestellungen berichten. Absichtlich ist im späteren Text durchweg vom Einheitskreis die Rede, in dieser Einleitung vom Kreise I x I
Erstes Kapitel Über beschränkte Potenzreihen.- 1. Eine notwendige und hinreichende Bedingung für die Beschränktheit.- 2. Die Landausche obere Grenze von ?sn?.- 3. Fejérs Satz, daß sn bei festem f(x) nicht beschränkt zu sein braucht.- 4. Über die Majorante einer beschränkten Funktion.- 5. Satz von Fatou.- Zweites Kapitel Summabilität höherer Ordnung.- 6. Der Knopp-Schneesche Satz.- 7. Beispiel einer nicht summabeln Reihe mit vorhandenem lim f(x).- Drittes Kapitel Umkehrungen des Abelschen Stetigkeitssatzes.- 8. Der Taubersche Satz.- 9. Ausdehnung auf schräge und krummlinige Annäherung.- 10. Die Hardy-Littlewoodsche Umkehrung des Abelschen Stetigkeitssatzes.- 11. Einige Nachträge.- 12. Ein Satz von M. Riesz.- 13. Ein Satz von Fejér.- Viertes Kapitel Über einige Merkwürdigkeiten des Verhaltens von Potenzreihen auf dem Rande.- 14. Hardysches Beispiel.- 15. Lusinsches Beispiel.- 16. Sierpi?skisches Beispiel.- Fünftes Kapitel Beziehungen der Koeffizienten einer Potenzreihe zu Singularitäten der Funktion auf dem Rande.- 17. Satz von Pringsheim.- 18. Satz von M. Riesz.- 19. Fabrysche Sätze.- 20. Satz von Pólya.- Sechstes Kapitel Maximum und Mittelwert des absoluten Betrages einer analytischen Funktion auf Kreisen.- 21. Hadamardscher Dreikreisesatz.- 22. Satz von Jentzsch.- 23. Hardyscher Mittlwertsatz.- Siebentes Kapitel Der Picardsche Ideenkreis.- 24. Der Blochsche Satz.- 25. Sätze von Picard, Landau und Schottky.- 26. Der große Picardsche Satz.- Achtes Kapitel Schlichte Funktionen.- 27. Koebescher Verzerrungssatz.- 28. Schranken für ?f(x)?.- Anhang I Bemerkungen und Hinweise zu den Themen des Buches von Landau Dieter Gaier.- Bemerkungen und Hinweise zu 1 bis 28.- Anhang II Darstellung einiger weiterer markanter Sätze der Funktionentheorie Dieter Gaier.- 1. Funktionentheoretische Beweise von Umkehrsätzen.- A. Problemstellung und Ergebnisse.- D. Vorbereitungen zum Beweis des high indices Theorems.- E. Beweis des high indices Theorems nach Halász.- F. Bermerkungen und Hinweise.- 2. Beweis des Fabryschen Lückensatzes mit dem Turánschen Lemma.- A. Eine Interpolationsaufgabe.- B. Das Turánsche Lemma.- C. Der Fabrysche Lückensatz.- D. Bemerkungen und Hinweise.- 3. Wermers Maximalitätssatz und Verwandtes.- A. Das Problem, das Ergebnis, unmittelbare Folgerungen.- B. Der Beweis von Cohen.- C. Der Beweis von Lumer.- D. Verallgemeinerung des Satzes von Wermer.- E. Maximumprinzip und Regularität.- F. Bermerkungen und Hinweise.- 4. Ring-Isomorphismen und konforme Abbildung.- A. Problemstellung und Ergebnis.- E. Bemerkungen und Hinweise.- Literatur zu Anhang I und Anhang II.
Erstes Kapitel Über beschränkte Potenzreihen.- 1. Eine notwendige und hinreichende Bedingung für die Beschränktheit.- 2. Die Landausche obere Grenze von ?sn?.- 3. Fejérs Satz, daß sn bei festem f(x) nicht beschränkt zu sein braucht.- 4. Über die Majorante einer beschränkten Funktion.- 5. Satz von Fatou.- Zweites Kapitel Summabilität höherer Ordnung.- 6. Der Knopp-Schneesche Satz.- 7. Beispiel einer nicht summabeln Reihe mit vorhandenem lim f(x).- Drittes Kapitel Umkehrungen des Abelschen Stetigkeitssatzes.- 8. Der Taubersche Satz.- 9. Ausdehnung auf schräge und krummlinige Annäherung.- 10. Die Hardy-Littlewoodsche Umkehrung des Abelschen Stetigkeitssatzes.- 11. Einige Nachträge.- 12. Ein Satz von M. Riesz.- 13. Ein Satz von Fejér.- Viertes Kapitel Über einige Merkwürdigkeiten des Verhaltens von Potenzreihen auf dem Rande.- 14. Hardysches Beispiel.- 15. Lusinsches Beispiel.- 16. Sierpi?skisches Beispiel.- Fünftes Kapitel Beziehungen der Koeffizienten einer Potenzreihe zu Singularitäten der Funktion auf dem Rande.- 17. Satz von Pringsheim.- 18. Satz von M. Riesz.- 19. Fabrysche Sätze.- 20. Satz von Pólya.- Sechstes Kapitel Maximum und Mittelwert des absoluten Betrages einer analytischen Funktion auf Kreisen.- 21. Hadamardscher Dreikreisesatz.- 22. Satz von Jentzsch.- 23. Hardyscher Mittlwertsatz.- Siebentes Kapitel Der Picardsche Ideenkreis.- 24. Der Blochsche Satz.- 25. Sätze von Picard, Landau und Schottky.- 26. Der große Picardsche Satz.- Achtes Kapitel Schlichte Funktionen.- 27. Koebescher Verzerrungssatz.- 28. Schranken für ?f(x)?.- Anhang I Bemerkungen und Hinweise zu den Themen des Buches von Landau Dieter Gaier.- Bemerkungen und Hinweise zu 1 bis 28.- Anhang II Darstellung einiger weiterer markanter Sätze der Funktionentheorie Dieter Gaier.- 1. Funktionentheoretische Beweise von Umkehrsätzen.- A. Problemstellung und Ergebnisse.- D. Vorbereitungen zum Beweis des high indices Theorems.- E. Beweis des high indices Theorems nach Halász.- F. Bermerkungen und Hinweise.- 2. Beweis des Fabryschen Lückensatzes mit dem Turánschen Lemma.- A. Eine Interpolationsaufgabe.- B. Das Turánsche Lemma.- C. Der Fabrysche Lückensatz.- D. Bemerkungen und Hinweise.- 3. Wermers Maximalitätssatz und Verwandtes.- A. Das Problem, das Ergebnis, unmittelbare Folgerungen.- B. Der Beweis von Cohen.- C. Der Beweis von Lumer.- D. Verallgemeinerung des Satzes von Wermer.- E. Maximumprinzip und Regularität.- F. Bermerkungen und Hinweise.- 4. Ring-Isomorphismen und konforme Abbildung.- A. Problemstellung und Ergebnis.- E. Bemerkungen und Hinweise.- Literatur zu Anhang I und Anhang II.
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