Der Gegenstand dieses Werkes hat ill neuer Zeit, nicht eben aus den lautersten Beweggriinden, in weiten Kreisen groBen Anteil er weckt, hat aber auch fiir den ernsten Forscher ungewohnlich be deutendes geschichtliches wie wissenschaftliehes Interesse. Der Vel' fasser hofft daher~ daB sein Bueh freundliche Aufnahme finden werde. Er schrieb es in del' sehmerzlichsten Zeit, die Deutschland jemals er lebte, zul' eigenen Starkung, zum Trotz wider den l!'eind, zu einem Zeichen, daB deutsche Wissenschaft seinem rachsiichtigen Ver nichtungswillen un b e z win g 1 i c h widersteht. 1st doch gerade in…mehr
Der Gegenstand dieses Werkes hat ill neuer Zeit, nicht eben aus den lautersten Beweggriinden, in weiten Kreisen groBen Anteil er weckt, hat aber auch fiir den ernsten Forscher ungewohnlich be deutendes geschichtliches wie wissenschaftliehes Interesse. Der Vel' fasser hofft daher~ daB sein Bueh freundliche Aufnahme finden werde. Er schrieb es in del' sehmerzlichsten Zeit, die Deutschland jemals er lebte, zul' eigenen Starkung, zum Trotz wider den l!'eind, zu einem Zeichen, daB deutsche Wissenschaft seinem rachsiichtigen Ver nichtungswillen un b e z win g 1 i c h widersteht. 1st doch gerade in del' Zahlentheorie die Vorherrschaft Deutschlands unbestritten uber aIle Ijander der Welt; und sie hat sieh auch an dem Probleme bewahrt, dem diese Bliitter gewidmet sind, und dessen wichtigste Fortschritte d eu tschen Fol'schern zu danken sind. So moge denn dies Buchlein, wie es dem Vel'fasser zum Troste gedient, tlem deutschen IJesel' gleichermaBen zur . E'reucle, der Wissenschaft seIber aher, wenn mog- liell, zul' Fiirderllng gereichen! Weimar, November 1918. Inhaltsverzeichllis S~it~ Einleitnng . 1 Nr. 1. Fermats Theorem. Die descente iulinie 2 " 2. Beispiel von Fermat; nltch Legendres Darstellnng. Ii i 3. Unmoglichkeit der Glpichnngen x· ± lI = c~ ~ 6 " 4. Folgerungen. Unmoglichkeit del" Gleichnng x:; + 1 = q'. Die Gldcbung :r;~n + yZ. = '~c' . 8 " 5. Rcdnktion dea Fer ma t schcn ThcorPlIIs auf !lie Gleichuug ll P :e + gil + ;t =0 O.
Nr. 1. Fermats Theoreun. Die descente infinie.- " 2. Beispiel von Fermat; nach Legendres Darstellung.- " 3. Unmöglichkeit der Gleichungen x4 ± y4 = x2.- " 4. Folgerungen. Unmöglichkeit der Gleichung x3 + 1 = q2 Die Gleichung x2n + y2n = z2.- " 5. Reduktion des Fermatschen Theorems auf die Gleichung xp + yp + zp =0. Abelsche Formeln; Fall I und II.- " 6. Gemeinsame Grundlage der Beweise für p = 3 und p =.- " 7. Unmöglichkeit der Gleichung x3 + y3 = z3, nach Euler und Legendre.- " 8. Unmöglichkeit der Gleichung x3 + y3 = 2z3, und Folgerungen.- " 8a. Die Gleichung x3 + y3 = A·z3, nach Legendre.- " 9. Unmöglichkeit der Gleichung x5 + y5 = z5, nach Dirichlet. Die Gleichung x5 + y5 = Az3. Die Gleichung x14 + y14 = x14.- " 10. Neue Grundlage der Untersuchung. Formeln für (x + y + z)p ? xp ? yp ? zp und (x + y)p ? xp ? yp. Bemerkung von Cauchy.- " 11 und 12. Ein zweiter Ausdruck für (x + y)p ? xp ? yp.- " 13. Anderer Ausdruck für (x +x + z)p ? xp ? xp ? zp, und Folgerungeu.- " 14 und 15. Die Ausdrücke y2 + yz + z2, x2 ? yz und ihre analog gebildeten, ihr größter gemeinsamer Teiler.- " 16. Die We n dt schen Formeln, insbesondere up + u?p + u?p = 2puu?u? · P.- " 17. Formeln für den Rest von $$ frac{{{{2}^{p}} - 2}}{p},frac{{{{3}^{p}} - 3}}{p} $$ (mod. p).- " 18. Neue Grundlage der Betrachtung. Die Kongruenz xp + yp + zp = 0 (mod. p), und Folgerungen.- " 19. Bedingungen für die Lösbarkeit der Gleichung xp + yp + zp = 0 im Falle I.- " 20. Die Kongruenz xp + yp + zp = 0 (mod. ? = 2 hp + 1). Legendr es Bedingung für die Lösbarkeit der Gleichung xp + yp+ zp = 0 im Falle I. Andere Formulierung durch Wendt.- " 21. Bedingung für die Lösbarkeit der Gleichung im Falle II, nach Wendt.- Nr. 22. Sätze von Legendre über ihre Unmöglichkeit im Falle I.- " 23 und 24. Dickson s bezügliche Untersuchungen.- " 25 und 26. Dicksons Beweis, daß die Anzahl der Primzahlen ? = 2 hp + 1, für welche xp + xp + zp = 0 (mod. ?) in Zahlen, prim zu ?, unmöglich ist, nur endlich ist.- " 27. Beweis von J. Schur, Hilfssatz aus der Kombinationslehre.- " 28-31. Hurwitz' bezügliche Untersuchung der allgemeineren Kongruenz a xp + b yp + c zp = 0 (mod. ?).- " 32. Kummer s neue Behandlung und Verallgemeinerung des Fermatproblems.- " 33. Grundbetrachtungen über Zahlenkörper und ihre Ideale.- " 34. Gauss' Beweis für die Unmöglichkeit von x3 + y3 + z3 = 0.- " 35. Hilfsbetrachtungen aus der Theorie des Kreisteilungskörpers.- " 36 und 37. Kummers Beweis des verallgemeinerten Fermatschen Theorems für reguläre Primzahlexponenten.- " 38 und 39. Herleitung der Kummerschen Kongruenzbedingungen für die Fermatsche Gleichung im Falle I.- " 40 und 41. Die Funktionen Pi(x,y) oder Pi(t). Sätze von Mirimanoff und Kummer.- " 42. Mirimanoffs Funktionen ?i (t) ?i(t).- " 43. Seine Umformung der Kummer sehen Kongruenzbedingungen.- " 44. Das Wieferichsche Kriterium $$ frac{{{{2}^{p}} - 2}}{p} equiv 0 $$ (mod. p); bezügliche Bemerkungen von Mirimanoff und Frobenius.- " 45. Ein Satz über die Wurzeln von ?p?1 (t) = 0.- " 46. Mirimanoffs Verallgemeinerung der Untersuchungen von Wieferich, und sein Kriterium $$ frac{{{{3}^{p}} - 3}}{p} equiv 0 $$ (mod.p).- " 47 und 48. Vereinfachung und Fortsetzung der Untersuchungen von Mirimanoff durch Frobenius. Weitere Kriterien von Frobenius und Vandiver.- " 49. Neue Begründung solcher Kriterien durch Furtwängler.- " 50. Furtwänglers neue Formulierung der Kummerschen Kongruenzbedingungen. Untersuchungen von Bernstein und von Hecke.- " 51. Maillets Verallgemeinerungen des Fermatproblems, Studien über die Gleichung xp + yp = C · zp.- " 52. Rückblick und Ausschau. Fueters Probleinstellung 158 Bemerkung zu Nr. 8 a.
Nr. 1. Fermats Theoreun. Die descente infinie.- " 2. Beispiel von Fermat; nach Legendres Darstellung.- " 3. Unmöglichkeit der Gleichungen x4 ± y4 = x2.- " 4. Folgerungen. Unmöglichkeit der Gleichung x3 + 1 = q2 Die Gleichung x2n + y2n = z2.- " 5. Reduktion des Fermatschen Theorems auf die Gleichung xp + yp + zp =0. Abelsche Formeln; Fall I und II.- " 6. Gemeinsame Grundlage der Beweise für p = 3 und p =.- " 7. Unmöglichkeit der Gleichung x3 + y3 = z3, nach Euler und Legendre.- " 8. Unmöglichkeit der Gleichung x3 + y3 = 2z3, und Folgerungen.- " 8a. Die Gleichung x3 + y3 = A·z3, nach Legendre.- " 9. Unmöglichkeit der Gleichung x5 + y5 = z5, nach Dirichlet. Die Gleichung x5 + y5 = Az3. Die Gleichung x14 + y14 = x14.- " 10. Neue Grundlage der Untersuchung. Formeln für (x + y + z)p ? xp ? yp ? zp und (x + y)p ? xp ? yp. Bemerkung von Cauchy.- " 11 und 12. Ein zweiter Ausdruck für (x + y)p ? xp ? yp.- " 13. Anderer Ausdruck für (x +x + z)p ? xp ? xp ? zp, und Folgerungeu.- " 14 und 15. Die Ausdrücke y2 + yz + z2, x2 ? yz und ihre analog gebildeten, ihr größter gemeinsamer Teiler.- " 16. Die We n dt schen Formeln, insbesondere up + u?p + u?p = 2puu?u? · P.- " 17. Formeln für den Rest von $$ frac{{{{2}^{p}} - 2}}{p},frac{{{{3}^{p}} - 3}}{p} $$ (mod. p).- " 18. Neue Grundlage der Betrachtung. Die Kongruenz xp + yp + zp = 0 (mod. p), und Folgerungen.- " 19. Bedingungen für die Lösbarkeit der Gleichung xp + yp + zp = 0 im Falle I.- " 20. Die Kongruenz xp + yp + zp = 0 (mod. ? = 2 hp + 1). Legendr es Bedingung für die Lösbarkeit der Gleichung xp + yp+ zp = 0 im Falle I. Andere Formulierung durch Wendt.- " 21. Bedingung für die Lösbarkeit der Gleichung im Falle II, nach Wendt.- Nr. 22. Sätze von Legendre über ihre Unmöglichkeit im Falle I.- " 23 und 24. Dickson s bezügliche Untersuchungen.- " 25 und 26. Dicksons Beweis, daß die Anzahl der Primzahlen ? = 2 hp + 1, für welche xp + xp + zp = 0 (mod. ?) in Zahlen, prim zu ?, unmöglich ist, nur endlich ist.- " 27. Beweis von J. Schur, Hilfssatz aus der Kombinationslehre.- " 28-31. Hurwitz' bezügliche Untersuchung der allgemeineren Kongruenz a xp + b yp + c zp = 0 (mod. ?).- " 32. Kummer s neue Behandlung und Verallgemeinerung des Fermatproblems.- " 33. Grundbetrachtungen über Zahlenkörper und ihre Ideale.- " 34. Gauss' Beweis für die Unmöglichkeit von x3 + y3 + z3 = 0.- " 35. Hilfsbetrachtungen aus der Theorie des Kreisteilungskörpers.- " 36 und 37. Kummers Beweis des verallgemeinerten Fermatschen Theorems für reguläre Primzahlexponenten.- " 38 und 39. Herleitung der Kummerschen Kongruenzbedingungen für die Fermatsche Gleichung im Falle I.- " 40 und 41. Die Funktionen Pi(x,y) oder Pi(t). Sätze von Mirimanoff und Kummer.- " 42. Mirimanoffs Funktionen ?i (t) ?i(t).- " 43. Seine Umformung der Kummer sehen Kongruenzbedingungen.- " 44. Das Wieferichsche Kriterium $$ frac{{{{2}^{p}} - 2}}{p} equiv 0 $$ (mod. p); bezügliche Bemerkungen von Mirimanoff und Frobenius.- " 45. Ein Satz über die Wurzeln von ?p?1 (t) = 0.- " 46. Mirimanoffs Verallgemeinerung der Untersuchungen von Wieferich, und sein Kriterium $$ frac{{{{3}^{p}} - 3}}{p} equiv 0 $$ (mod.p).- " 47 und 48. Vereinfachung und Fortsetzung der Untersuchungen von Mirimanoff durch Frobenius. Weitere Kriterien von Frobenius und Vandiver.- " 49. Neue Begründung solcher Kriterien durch Furtwängler.- " 50. Furtwänglers neue Formulierung der Kummerschen Kongruenzbedingungen. Untersuchungen von Bernstein und von Hecke.- " 51. Maillets Verallgemeinerungen des Fermatproblems, Studien über die Gleichung xp + yp = C · zp.- " 52. Rückblick und Ausschau. Fueters Probleinstellung 158 Bemerkung zu Nr. 8 a.
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