Dieses Buch will eine Einfuhrung in das Gebiet der Differential operatoren sein. Es sollte fiir Studierende der Mathematik und Physik in den mittleren Semestern bequem lesbar sein. Deshalb wurde eine Ein fuhrung in den HILBERTschen Raum und seine Operatoren auf genommen. Die Differentialoperatoren der Physik sind meistens partielle Differen tialoperatoren. Unter diesen besteht das Interesse heute vornehmlich an solchen partiellen Differentialoperatoren, deren unabhangige Variablen Xl' , Xn irn gesamten 9t variieren, weil die SCHRODINGER-Operatoren n der Quar.lJ~nmechanik diese Eigenschaft…mehr
Dieses Buch will eine Einfuhrung in das Gebiet der Differential operatoren sein. Es sollte fiir Studierende der Mathematik und Physik in den mittleren Semestern bequem lesbar sein. Deshalb wurde eine Ein fuhrung in den HILBERTschen Raum und seine Operatoren auf genommen. Die Differentialoperatoren der Physik sind meistens partielle Differen tialoperatoren. Unter diesen besteht das Interesse heute vornehmlich an solchen partiellen Differentialoperatoren, deren unabhangige Variablen Xl' , Xn irn gesamten 9t variieren, weil die SCHRODINGER-Operatoren n der Quar.lJ~nmechanik diese Eigenschaft besitzen. Deshalb sind solche Operatoren gegenuber den klassischen Operatoren stets bevorzugt be handelt worden. Im Kapitel I wird eine Einfuhrung in den HILBERTschen Raum ~ gegeben. Kapitel Il beschaftigt sich mit den Operatoren in~, wobei ala Beispiele fiir Symmetrie und Halbbeschranktheit nach unten solche partiellen Differentialoperatoren und vornehmlich SCHRODINGER-Opera toren herangezogenwerden. Das Ill. Kapitel bringt die Spektraltheorie vollstetiger Operatoren, die fur die klassischen Differentialoperatoren ausreichend ist. Im IV. Kapitel wird die Spektraltheorie von SCHRODINGER-Operatoren ent wickelt, wozu die Spektraltheorie von selbstadjungierten Operatoren in ~ unerlaBlich ist. Der zentrale Spektralaatz fUr solche selbstadjungierten Operatoren wird rnit Erlauterungen bereitgestellt, nicht dagegen be wiesen. Solche Beweise sind heute in den meisten Lehrbuchern des HILBERTschen Raumes bequem zuganglich.
I. Der Hilbertsche Raum.- 1. Der lineare, metrische und Banachsche Raum.- 1.1 Der lineare Raum.- 1.2 Der metrische Raum.- 1.3 Vollständiger metrischer Raum.- 1.4 Der Banachsche Raum.- 2. Der Hilbertsche Raum ?.- 2.1 Definition des Hilbertschen Raumes.- 2.2 Vollständiger Hilbertscher Raum.- 2.3 Separabler Hilbertscher Raum.- 2.4 Dichte Teilräume.- 3. Orthonormalsysteme in ?.- 3.1 Definition und Besselsche Ungleichung..- 3.2 Vollständige Orthonormalsysteme.- 3.3 Das E. Schmidtsche Orthogonalisierungsverfahren.- II. Lineare Operatoren in ?.- 1. Eigenwert und reziproker Operator.- 1.1 Definitionen und Problemstellungen.- 1.2 Der Sturm-Liouvillesche Operator im ?1.- 1.3 Hilfsmittel aus den partiellen Differentialgleichungen.- 1.4 Der Sturm-Liouvillesche Operator im ?n.- 2. Symmetrische und halbbeschränkte Operatoren.- 2.1 Definitionen.- 2.2 Symmetrie und Halbbeschränktheit des Sturm-Liouvilleschen Operators im ?1.- 2.3 Symmetrie und Halbbeschränktheit des Sturm-Liouvilleschen Operators im?n.- 2.4 Ein nicht-halbbeschränkter Sturm-Liouvillescher Operator im ?2.- 3. SchröDinger-Operatoren.- 3.1 Einige Prinzipien der Quantenmechanik.- 3.2 Energie-Operatoren.- 3.3 Symmetrie von SchröDinger-Operatoren.- 3.4 Halbbeschränktheit von SchröDinger-Operatoren.- III. Spektraltheorie vollstetiger Operatoren.- 1. Vollstetige und beschränkte Operatoren..- 1.1 Definitionen.- 1.2 Der Entwicklungssatz für vollstetige, symmetrische Operatoren.- 1.3 Verschärfter Entwicklungssatz.- 1.4 Die Vollstetigkeit von Integraloperatoren.- 1.5 Die Vollstetigkeit von Integraloperatoren (Fortsetzung).- 1.6 Das allgemeine Sturm-Liouvillesche Eigenwertproblem im ?1.- 1.7 Das Sturm-Liouvillesche Eigenwertproblem im ?n.- 2. Anfangs-Randwertprobleme.- 2.1 Das Anfangs-Randwertproblem für Au u(non) = f.- 2.2 Das Anfangs-Randwertproblem für Au + ü = f.- 2.3 Greensche Funktionen bei Anfangs-Randwertproblemen.- 2.4 Existenzsätze für Anfangs-Randwertprobleme.- IV. Spektraltheorie selbstadjungierter Operatoren.- 1. Vorbereitungen.- 1.1 Neufassung des Entwicklungssatzes für vollstetige und symmetrische Operatoren.- 1.2 Projektionsoperatoren.- 2. Selbstadjungierte Operatoren.- 2.1 Definitionen..- 2.2 Der Spektralsatz für selbstadjungierte Operatoren.- 2.3 Das Spektrum eines selbstadjungierten Operators.- 2.4 Eigenpakete.- 2.5 Zusammenhang zwischen Spektralschar und Eigenpaket.- 3. Wesentlich selbstadjungierte Operatoren.- 3.1 Definitionen.- 3.2 Beispiele.- 3.3 Kriterien für die wesentliche Selbstadjungiertheit.- 3.4 Ein Kriterium für die wesentliche Selbstadjungiertheit von Differential-operatoren.- 3.5 Beweis des Weylschen Lemmas.- 4. Die Selbstadjungiertheit von Differentialoperatoren.- 4.1 SchröDinger-Operatoren mit singulärem Potential.- 4.2 Coulomb-Potentiale mit Wechselwirkung.- 4.3 Halbbeschränkte Differentialoperatoren.- 4.4 Zusammenfassung.- 4.5 Der tiefste Punkt des Spektrums eines halbbeschränkten Operators.- V. Das Weyl-Stonesche Eigenwertproblem.- 1. Die Weylsche Alternative.- 1.1 Vorbereitung.- 1.2 Der 1. Weylsche Satz.- 1.3 Der 2. WeylseheSatz.- 1.4 Die Weylsche Alternative.- 1.5 Ein Kriterium für den Grenzpunktfall bei ? = ?.- 2. Die Selbstadjungiertheit des Weyl-Stokeschen Operators.- 2.1 Der Hauptsatz.- 2.2 Der Sturm-Liotjvillesche Operator im ?1.- 2.3 Der Entwieklungssatz.- 3. Die Relliohschen Randbedingungen für Grenzkreisfall und Stelle der Bestimmtheit.- 3.1 Stelle der Bestimmtheit.- 3.2 Die Relliohschen Anfangszahlen.- 3.3 Anwendungen und Beispiele.- Anhang I.- Anhang II.- Anhang III.- Anhang IV.- Namen- und Sachverzeichnis.
I. Der Hilbertsche Raum.- 1. Der lineare, metrische und Banachsche Raum.- 1.1 Der lineare Raum.- 1.2 Der metrische Raum.- 1.3 Vollständiger metrischer Raum.- 1.4 Der Banachsche Raum.- 2. Der Hilbertsche Raum ?.- 2.1 Definition des Hilbertschen Raumes.- 2.2 Vollständiger Hilbertscher Raum.- 2.3 Separabler Hilbertscher Raum.- 2.4 Dichte Teilräume.- 3. Orthonormalsysteme in ?.- 3.1 Definition und Besselsche Ungleichung..- 3.2 Vollständige Orthonormalsysteme.- 3.3 Das E. Schmidtsche Orthogonalisierungsverfahren.- II. Lineare Operatoren in ?.- 1. Eigenwert und reziproker Operator.- 1.1 Definitionen und Problemstellungen.- 1.2 Der Sturm-Liouvillesche Operator im ?1.- 1.3 Hilfsmittel aus den partiellen Differentialgleichungen.- 1.4 Der Sturm-Liouvillesche Operator im ?n.- 2. Symmetrische und halbbeschränkte Operatoren.- 2.1 Definitionen.- 2.2 Symmetrie und Halbbeschränktheit des Sturm-Liouvilleschen Operators im ?1.- 2.3 Symmetrie und Halbbeschränktheit des Sturm-Liouvilleschen Operators im?n.- 2.4 Ein nicht-halbbeschränkter Sturm-Liouvillescher Operator im ?2.- 3. SchröDinger-Operatoren.- 3.1 Einige Prinzipien der Quantenmechanik.- 3.2 Energie-Operatoren.- 3.3 Symmetrie von SchröDinger-Operatoren.- 3.4 Halbbeschränktheit von SchröDinger-Operatoren.- III. Spektraltheorie vollstetiger Operatoren.- 1. Vollstetige und beschränkte Operatoren..- 1.1 Definitionen.- 1.2 Der Entwicklungssatz für vollstetige, symmetrische Operatoren.- 1.3 Verschärfter Entwicklungssatz.- 1.4 Die Vollstetigkeit von Integraloperatoren.- 1.5 Die Vollstetigkeit von Integraloperatoren (Fortsetzung).- 1.6 Das allgemeine Sturm-Liouvillesche Eigenwertproblem im ?1.- 1.7 Das Sturm-Liouvillesche Eigenwertproblem im ?n.- 2. Anfangs-Randwertprobleme.- 2.1 Das Anfangs-Randwertproblem für Au u(non) = f.- 2.2 Das Anfangs-Randwertproblem für Au + ü = f.- 2.3 Greensche Funktionen bei Anfangs-Randwertproblemen.- 2.4 Existenzsätze für Anfangs-Randwertprobleme.- IV. Spektraltheorie selbstadjungierter Operatoren.- 1. Vorbereitungen.- 1.1 Neufassung des Entwicklungssatzes für vollstetige und symmetrische Operatoren.- 1.2 Projektionsoperatoren.- 2. Selbstadjungierte Operatoren.- 2.1 Definitionen..- 2.2 Der Spektralsatz für selbstadjungierte Operatoren.- 2.3 Das Spektrum eines selbstadjungierten Operators.- 2.4 Eigenpakete.- 2.5 Zusammenhang zwischen Spektralschar und Eigenpaket.- 3. Wesentlich selbstadjungierte Operatoren.- 3.1 Definitionen.- 3.2 Beispiele.- 3.3 Kriterien für die wesentliche Selbstadjungiertheit.- 3.4 Ein Kriterium für die wesentliche Selbstadjungiertheit von Differential-operatoren.- 3.5 Beweis des Weylschen Lemmas.- 4. Die Selbstadjungiertheit von Differentialoperatoren.- 4.1 SchröDinger-Operatoren mit singulärem Potential.- 4.2 Coulomb-Potentiale mit Wechselwirkung.- 4.3 Halbbeschränkte Differentialoperatoren.- 4.4 Zusammenfassung.- 4.5 Der tiefste Punkt des Spektrums eines halbbeschränkten Operators.- V. Das Weyl-Stonesche Eigenwertproblem.- 1. Die Weylsche Alternative.- 1.1 Vorbereitung.- 1.2 Der 1. Weylsche Satz.- 1.3 Der 2. WeylseheSatz.- 1.4 Die Weylsche Alternative.- 1.5 Ein Kriterium für den Grenzpunktfall bei ? = ?.- 2. Die Selbstadjungiertheit des Weyl-Stokeschen Operators.- 2.1 Der Hauptsatz.- 2.2 Der Sturm-Liotjvillesche Operator im ?1.- 2.3 Der Entwieklungssatz.- 3. Die Relliohschen Randbedingungen für Grenzkreisfall und Stelle der Bestimmtheit.- 3.1 Stelle der Bestimmtheit.- 3.2 Die Relliohschen Anfangszahlen.- 3.3 Anwendungen und Beispiele.- Anhang I.- Anhang II.- Anhang III.- Anhang IV.- Namen- und Sachverzeichnis.
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