Die Stalik cler Bogentriiger erfreut sich dank ihrer groBen Bedeutung fUr das Bau- und Maschinenwesen schon seit jeher der besonderen Pflege der wissenschaftlichen Forschung, so daB sie mit ihren bis ins einzelne ausgearbeiteten analytischen und graphischen Methoden zu den bestentwickelten Teilen der modern en Baustatik zu zahlen ist, fiir die im in- und allslandischen Schrifttum schon langst sehr schone zusammen fassende Darstellungen bestehen. Nicht so erfreuliches kann von der Dynamik der Bogentrager behauptet werden. Die in den vergangenen eineinhalb J ahrzehnten erschienenen Biicher iiber…mehr
Die Stalik cler Bogentriiger erfreut sich dank ihrer groBen Bedeutung fUr das Bau- und Maschinenwesen schon seit jeher der besonderen Pflege der wissenschaftlichen Forschung, so daB sie mit ihren bis ins einzelne ausgearbeiteten analytischen und graphischen Methoden zu den bestentwickelten Teilen der modern en Baustatik zu zahlen ist, fiir die im in- und allslandischen Schrifttum schon langst sehr schone zusammen fassende Darstellungen bestehen. Nicht so erfreuliches kann von der Dynamik der Bogentrager behauptet werden. Die in den vergangenen eineinhalb J ahrzehnten erschienenen Biicher iiber technische Schwingungsprobleme, von denen die aus gezeichneten Standardwerke von S. Timoshenko (1932) und Biezeno Grammel (1939) besonders genannt seien, behandeln entsprechend ihrer Zielsetzung die technisch ungemein wichtigen Schwingungen von Systemen mit einem und mehreren Freiheitsgraden, sowie von elasti schen Systemen, letztere aber vorwiegend heschrankt auf gerade Stabe oder Platten und Schalen. Der Fall gekriimmter Stahe wird, wenn iiber haupt, nur durch Angabe jener Ergebnisse beriicksichtigt, die seit dem Erscheinen der klassischen Werke von Lord Rayleigh und A. E. H. Love bekannt sind und auch Eingang gefunden haben in den verschiedenen Handbiichern der technisehen Mechanik und Physik; sie beziehen sieh im wesentliehen auf die Schwingungen eines geschlossenen Kreisringes mit kreisrundem Querschnitte und auf jene von Sehraubenfedern. Es konnte demnach scheinen, als bestiinde kein Bediirfnis nach Er weiterung der Kenntnisse auf diesem enger begrenzten Gebiete der Schwingungsforsehung. Dem ist aber nieht so.
A. Kinematik der Biegung und Drillung des von Haus aus gekrümmten und tordierten Stabes.- 1. Geometrische Grundlagen.- 2. Krümmungskomponenten und Drall der verzerrten Stabachse.- 3. Spezialisierung für den Kreisbogenträger.- B. Die Differentialgleichungen der Eigenschwingungen des räumlich schwingenden offenen Kreisbogens und ihre Randbedingungen.- 1. Formänderungsarbeit.- 2. Kinetische Energie.- 3. Die Differentialgleichungen der Eigenfunktionen.- 4. Die resultierenden Kräfte und Momente eines Bogenquerschnittes.- 5. Die Randbedingungen.- 6. Wölbmomente, Wölbwiderstand, Schubmittelpunkt.- C. Sonderfall des Kreisbogenträgers mit einfach-symmetrischem Querschnitte dessen eine Hauptachse in der Kreisebene liegt.- Fall a: Die Symmetrieachse des Querschnittes liegt in der Kreisebene.- Fall b: Die Symmetrieachse des Querschnittes steht senkrecht auf der Kreisebene.- D. Einfluß der Querschnittsform auf die Schwingungsgleichungen in den Sonderfällen des Abschnittes C.- 1. Doppelsymmetrischer I-Querschnitt.- a) Die Frequenzengleichung für den geschlossenen, freien Ring.- b) Die Frequenzengleichungen für den an beiden Enden eingespannten Kreisbogenträger.- ?) Symmetrische Schwingungen.- ?) Gegensymmetrische Schwingungen.- c) Näherungsformel zur Ermittlung der Grundschwingzahl für die symmetrischen Eigenschwingungen des an beiden Enden eingespannten Kreisbogenträgers.- d) Die Frequenzengleichungen für den an beiden Enden gelenkig festgehaltenen Kreisbogenträger.- 2. Einfach-symmetrische, quasi-wölbfreie Querschnitte.- 3. Doppelt-symmetrische und quasi-wölbfreie Querschnitte.- a) Biegungs-Dehnungsschwingungen in der Kreisebene.- ?) Symmetrische Schwingungen.- ?) Gegensymmetrische Schwingungen.- ?) Wurzeln der Frequenzengleichungen.- b) Biegungs-Drillungsschwingungen senkrecht zur Kreisebene.- Die Frequenzen- und Amplitudengleichungen.- ?) Symmetrische Schwingungen.- ?) Gegensymmetrische Schwingungen.- ?) Näherungsformeln für die Grundschwingzahlen der sym metrischen und gegensymmetrischen Schwingungen.- ?) Wurzeln der strengen Frequenzengleichungen eines Halbkreisbogens und Vergleich mit den Ergebnissen von Schwingungsversuchen.- c) Frequenzen des geschlossenen freien Kreisringes; Vergleich mit Versuchsergebnissen.- ?) Biegungs-Dehnungsschwingungen in der Ringebene.- Numerische Ermittlung der Zahlenwerte k und der Einfluß-zahlen e0, e1e2.- Vergleich mit den Ergebnissen der zweidimensionalen Theorie.- ?) Biegungs-Drillungsschwingungen senkrecht zur Ringebene.- Vergleich der vorstehend entwickelten verbesserten Theorie der Biegungs-Drillungsschwingungen eines Kreisringes mit den Versuchsergebnissen von W. Kuhl.- ?) Die ebene und räumliche Schwingform des Kreisringes mit der Wellenzahl Null.- ?) Einfluß von Ungenauigkeiten der Form und Stärke eines Kreisringes auf die Schwingzahlen seiner ebenen Biegungsschwingungen.- E. Der Grenzfall des geraden Stabes.- 1. Die vier Schwingungsgleichungen und ihre Randbedingungen.- 2. Die beiden Enden des Stabes sind in Kreuzgelenken ohne Behinderung der Verwölbung der Endquerschnitte festgehalten.- 3. Der gerade Stab mit einfach-symmetrischem Querschnitt.- Formeln für das [-Profil.- F. Kreisbogenträger mit entlang der Bogenachse veränderlichem Querschnitte.- 1. Dehnungslose Schwingungen in der Kreisebene.- a) Kreisfrequenz der ersten gegensymmetrischen Schwingung.- b) Kreisfrequenz der ersten symmetrischen Schwingung.- 2. Biegungs-Dehnungsschwingungen in der Kreisebene.- G. Einfluß eines radialen Außen- oder Innendruckes auf die Frequenzen eines Kreisbogenträgers und Kreisringes.- 1. Gelenkig gelagerter Bogenträger.- 2. Eingespannter Bogenträger.- 3. Der Kreisring.- H. Der Kreisring mit dünnwandigem geschlossenem Hohlquerschnitt (Hohlreifen).- 1. Entwicklung des Ausdruckes für das kinetische Potential ?.- 2. Kreisfrequenzen für die Grund- und erste Oberschwingung.- I. Frequenzen des Zweigelenk-Bogenträgers mit parabolischer Achse.- 1. Dehnungslose Schwingungen.- 2
A. Kinematik der Biegung und Drillung des von Haus aus gekrümmten und tordierten Stabes.- 1. Geometrische Grundlagen.- 2. Krümmungskomponenten und Drall der verzerrten Stabachse.- 3. Spezialisierung für den Kreisbogenträger.- B. Die Differentialgleichungen der Eigenschwingungen des räumlich schwingenden offenen Kreisbogens und ihre Randbedingungen.- 1. Formänderungsarbeit.- 2. Kinetische Energie.- 3. Die Differentialgleichungen der Eigenfunktionen.- 4. Die resultierenden Kräfte und Momente eines Bogenquerschnittes.- 5. Die Randbedingungen.- 6. Wölbmomente, Wölbwiderstand, Schubmittelpunkt.- C. Sonderfall des Kreisbogenträgers mit einfach-symmetrischem Querschnitte dessen eine Hauptachse in der Kreisebene liegt.- Fall a: Die Symmetrieachse des Querschnittes liegt in der Kreisebene.- Fall b: Die Symmetrieachse des Querschnittes steht senkrecht auf der Kreisebene.- D. Einfluß der Querschnittsform auf die Schwingungsgleichungen in den Sonderfällen des Abschnittes C.- 1. Doppelsymmetrischer I-Querschnitt.- a) Die Frequenzengleichung für den geschlossenen, freien Ring.- b) Die Frequenzengleichungen für den an beiden Enden eingespannten Kreisbogenträger.- ?) Symmetrische Schwingungen.- ?) Gegensymmetrische Schwingungen.- c) Näherungsformel zur Ermittlung der Grundschwingzahl für die symmetrischen Eigenschwingungen des an beiden Enden eingespannten Kreisbogenträgers.- d) Die Frequenzengleichungen für den an beiden Enden gelenkig festgehaltenen Kreisbogenträger.- 2. Einfach-symmetrische, quasi-wölbfreie Querschnitte.- 3. Doppelt-symmetrische und quasi-wölbfreie Querschnitte.- a) Biegungs-Dehnungsschwingungen in der Kreisebene.- ?) Symmetrische Schwingungen.- ?) Gegensymmetrische Schwingungen.- ?) Wurzeln der Frequenzengleichungen.- b) Biegungs-Drillungsschwingungen senkrecht zur Kreisebene.- Die Frequenzen- und Amplitudengleichungen.- ?) Symmetrische Schwingungen.- ?) Gegensymmetrische Schwingungen.- ?) Näherungsformeln für die Grundschwingzahlen der sym metrischen und gegensymmetrischen Schwingungen.- ?) Wurzeln der strengen Frequenzengleichungen eines Halbkreisbogens und Vergleich mit den Ergebnissen von Schwingungsversuchen.- c) Frequenzen des geschlossenen freien Kreisringes; Vergleich mit Versuchsergebnissen.- ?) Biegungs-Dehnungsschwingungen in der Ringebene.- Numerische Ermittlung der Zahlenwerte k und der Einfluß-zahlen e0, e1e2.- Vergleich mit den Ergebnissen der zweidimensionalen Theorie.- ?) Biegungs-Drillungsschwingungen senkrecht zur Ringebene.- Vergleich der vorstehend entwickelten verbesserten Theorie der Biegungs-Drillungsschwingungen eines Kreisringes mit den Versuchsergebnissen von W. Kuhl.- ?) Die ebene und räumliche Schwingform des Kreisringes mit der Wellenzahl Null.- ?) Einfluß von Ungenauigkeiten der Form und Stärke eines Kreisringes auf die Schwingzahlen seiner ebenen Biegungsschwingungen.- E. Der Grenzfall des geraden Stabes.- 1. Die vier Schwingungsgleichungen und ihre Randbedingungen.- 2. Die beiden Enden des Stabes sind in Kreuzgelenken ohne Behinderung der Verwölbung der Endquerschnitte festgehalten.- 3. Der gerade Stab mit einfach-symmetrischem Querschnitt.- Formeln für das [-Profil.- F. Kreisbogenträger mit entlang der Bogenachse veränderlichem Querschnitte.- 1. Dehnungslose Schwingungen in der Kreisebene.- a) Kreisfrequenz der ersten gegensymmetrischen Schwingung.- b) Kreisfrequenz der ersten symmetrischen Schwingung.- 2. Biegungs-Dehnungsschwingungen in der Kreisebene.- G. Einfluß eines radialen Außen- oder Innendruckes auf die Frequenzen eines Kreisbogenträgers und Kreisringes.- 1. Gelenkig gelagerter Bogenträger.- 2. Eingespannter Bogenträger.- 3. Der Kreisring.- H. Der Kreisring mit dünnwandigem geschlossenem Hohlquerschnitt (Hohlreifen).- 1. Entwicklung des Ausdruckes für das kinetische Potential ?.- 2. Kreisfrequenzen für die Grund- und erste Oberschwingung.- I. Frequenzen des Zweigelenk-Bogenträgers mit parabolischer Achse.- 1. Dehnungslose Schwingungen.- 2
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