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Diplomarbeit aus dem Jahr 1999 im Fachbereich BWL - Investition und Finanzierung, Note: 1,3, Karlsruher Institut für Technologie (KIT) (Unbekannt, Entscheidungstheorie und Unternehmensforschung), Sprache: Deutsch, Abstract: Inhaltsangabe:Einleitung:
Im klassischen Optionspreismodell von Black und Scholes spielt unter den verschiedenen Parametern die Volatilität eine besondere Rolle: Sie ist der einzige, welcher nicht direkt am Markt beobachtbar ist. Allerdings kann man nach den umfangreichen empirischen Untersuchungen der Vergangenheit davon ausgehen, daß die von Black/Scholes getroffene Annahme einer konstanten Volatilität nicht aufrechtzuerhalten ist.
Die Praxis begegnet diesem Problem, indem sie die Volatilität entsprechend empirisch beobachteten Mustern anpaßt.
Eine Möglichkeit, ohne solche Manipulationen reale Preise mit dem Modell von Black/Scholes zu erklären, ist die Modellierung einer stochastischen Volatilität.
Die vorliegende Arbeit betrachtet Black/Scholes-Modellerweiterungen, bei denen die Volatilität einem eigenen stochastischen Prozess (in der Regel einem mean-reverting Prozess) folgt. Wie man sehen wird, liegt die Schwierigkeit der Modelle vor allem darin, trotz zweier stochastischer Prozesse einen eindeutigen Preis für die Option zu berechnen, weil der No-Arbitrage Ansatz von Black/Scholes nicht mehr ohne weiteres durchführbar ist.
Inhaltsverzeichnis:Inhaltsverzeichnis:
1.Vorwort3
2.Deterministische Volatilität7
2.1No-Arbitrage Bewertung7
2.2Das Modell von Black/Scholes9
2.2.1Itôs Lemma9
2.2.2Die Black-Scholes Differentialgleichung11
2.2.3Lösung der Differentialgleichung13
2.3Risikoneutrale Bewertung15
3.Stochastische Volatilität18
3.1Motivation18
3.2Bewertungsstrategie24
3.3Bias bei Black/Scholes27
4.Eigene Stochastik der Volatilität31
4.1Garman (1976)36
4.1.1Überblick36
4.1.2Modellstruktur und Annahmen37
4.1.3Differentialgleichungen nach Garman38
4.1.4Risikoloses Wertpapier39
4.1.5Derivative Wertpapiere40
4.1.6Stochastische Volatilität40
4.2Hull/White (1987)42
4.2.1Überblick42
4.2.2Modellstruktur und Annahmen43
4.2.3Analytische Lösung48
4.2.4Bemerkungen51
4.3Hull/White (1988)52
4.3.1Überblick52
4.3.2Modellstruktur und Annahmen53
4.3.3Analytische Herleitung des Bias56
4.4Wiggins (1987)61
4.4.1Überblick61
4.4.2Modellstruktur62
4.4.3Lösung der Differentialgleichung65
4.5Heston (1993)69
4.5.1Überblick69
4.5.2Modellstruktur und Annahmen69
4.5.3Lösung der Differentialgleichung73
4.6Stein/Stein (1991)74
4.6.1Überblick74
4.6.2Verteilung des Aktienkurses75
4.6.3Berechnung des Optionswertes79
4.7Schöbel/Zhu (1998)81
4.7.1Überblick81
4.7.2Berechnung des Optionswertes82
4.7.3Bemerkungen87
5.Eigenschaften der Modellpreise88
5.1Hull/White (1987)89
5.2Hull/White (1988)93
5.3Wiggins (1987)95
5.4Heston (1993)101
5.5Stein/Stein (1991)106
5.5.1Schätzung der Parameter106
5.5.2Modellberechnungen107
5.6Schöbel/Zhu (1998)112
6.Fazit119
Literaturverzeichnis123
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Im klassischen Optionspreismodell von Black und Scholes spielt unter den verschiedenen Parametern die Volatilität eine besondere Rolle: Sie ist der einzige, welcher nicht direkt am Markt beobachtbar ist. Allerdings kann man nach den umfangreichen empirischen Untersuchungen der Vergangenheit davon ausgehen, daß die von Black/Scholes getroffene Annahme einer konstanten Volatilität nicht aufrechtzuerhalten ist.
Die Praxis begegnet diesem Problem, indem sie die Volatilität entsprechend empirisch beobachteten Mustern anpaßt.
Eine Möglichkeit, ohne solche Manipulationen reale Preise mit dem Modell von Black/Scholes zu erklären, ist die Modellierung einer stochastischen Volatilität.
Die vorliegende Arbeit betrachtet Black/Scholes-Modellerweiterungen, bei denen die Volatilität einem eigenen stochastischen Prozess (in der Regel einem mean-reverting Prozess) folgt. Wie man sehen wird, liegt die Schwierigkeit der Modelle vor allem darin, trotz zweier stochastischer Prozesse einen eindeutigen Preis für die Option zu berechnen, weil der No-Arbitrage Ansatz von Black/Scholes nicht mehr ohne weiteres durchführbar ist.
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1.Vorwort3
2.Deterministische Volatilität7
2.1No-Arbitrage Bewertung7
2.2Das Modell von Black/Scholes9
2.2.1Itôs Lemma9
2.2.2Die Black-Scholes Differentialgleichung11
2.2.3Lösung der Differentialgleichung13
2.3Risikoneutrale Bewertung15
3.Stochastische Volatilität18
3.1Motivation18
3.2Bewertungsstrategie24
3.3Bias bei Black/Scholes27
4.Eigene Stochastik der Volatilität31
4.1Garman (1976)36
4.1.1Überblick36
4.1.2Modellstruktur und Annahmen37
4.1.3Differentialgleichungen nach Garman38
4.1.4Risikoloses Wertpapier39
4.1.5Derivative Wertpapiere40
4.1.6Stochastische Volatilität40
4.2Hull/White (1987)42
4.2.1Überblick42
4.2.2Modellstruktur und Annahmen43
4.2.3Analytische Lösung48
4.2.4Bemerkungen51
4.3Hull/White (1988)52
4.3.1Überblick52
4.3.2Modellstruktur und Annahmen53
4.3.3Analytische Herleitung des Bias56
4.4Wiggins (1987)61
4.4.1Überblick61
4.4.2Modellstruktur62
4.4.3Lösung der Differentialgleichung65
4.5Heston (1993)69
4.5.1Überblick69
4.5.2Modellstruktur und Annahmen69
4.5.3Lösung der Differentialgleichung73
4.6Stein/Stein (1991)74
4.6.1Überblick74
4.6.2Verteilung des Aktienkurses75
4.6.3Berechnung des Optionswertes79
4.7Schöbel/Zhu (1998)81
4.7.1Überblick81
4.7.2Berechnung des Optionswertes82
4.7.3Bemerkungen87
5.Eigenschaften der Modellpreise88
5.1Hull/White (1987)89
5.2Hull/White (1988)93
5.3Wiggins (1987)95
5.4Heston (1993)101
5.5Stein/Stein (1991)106
5.5.1Schätzung der Parameter106
5.5.2Modellberechnungen107
5.6Schöbel/Zhu (1998)112
6.Fazit119
Literaturverzeichnis123
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