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-~-- Wahrend fUr den beschreibenden Teil der Physik wie fiir den theoretisehen eine erhebliche Anzahl von teils das Gesammtgebiet der Physik, teils einzeine Abschnitte derselben behandelnden Lehrbiichern existirt, ist der sich auf Maassbestimmungen beziehende Teil in Deutsch land selbstandig nur einmal, von Kohlrausch, bAarbeitet worden, und hier auch nur insoweit, als er bei ersten physikalischen Arbeiten als Leitfaden dienen sollte. Allerdings enthalten die meisten Lehr Mcher liber Physik zugleieh aueh Anweisungen zu physikalischen Messungell, indessen sind solche Anweisungen nur selten…mehr
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-~-- Wahrend fUr den beschreibenden Teil der Physik wie fiir den theoretisehen eine erhebliche Anzahl von teils das Gesammtgebiet der Physik, teils einzeine Abschnitte derselben behandelnden Lehrbiichern existirt, ist der sich auf Maassbestimmungen beziehende Teil in Deutsch land selbstandig nur einmal, von Kohlrausch, bAarbeitet worden, und hier auch nur insoweit, als er bei ersten physikalischen Arbeiten als Leitfaden dienen sollte. Allerdings enthalten die meisten Lehr Mcher liber Physik zugleieh aueh Anweisungen zu physikalischen Messungell, indessen sind solche Anweisungen nur selten eingehend entwiekelt, meist wird dem Leser iiberlassen, aus den Beschreibungen der Versuehe, die zu den betreffenden physikalischen Erfahrungen ge fiihrt haben, sich selbst Untersuchungsmethoden abzuleiten. Die Rechenmethoden werden fast gar nicht ueriihrt, und doeh bleiben fiir quantitative Bestimmungen die sehonsten Arbeitell fruchtlos, wenn die Ergebnisse nieht nach richtigen und insbesonderenaeh festen und ge meinsamen, jeder subjeetiven Willkiir enthobenen Principien berechnet werden. Freilich ist die Lehre von den physikalischen Maassbestim mungen noeh relativ jung, aber sie hat sich auf den Grundlagen, die ihr G a u s s in so bewunderungswiirdiger Weise verliehen hat, doch schon in ziemlicher Vollkommenheit entwickelt, ihre Methoden sind vielseitig ausgeLildet, ihre Regein haben sieh in der Erfahrung als zweckmassig erwiesen, und die Genauigkeitder Resultate, die mit ihrer Hilfe abgeleitet werden konnen, darf bald mit der so viel und mit Recht bewunderten Genauigkeit astronomischer Maasshestimmungen wetteifern. Sie kann jetzt schon als selbstandige Disciplin behandelt werden, und wenn sie aueh ohne Kenntnis ihrer Sehwesterwissen schaften, der beschreibenden und theoretisehen Physik, und namentlich IV Vorwort.
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- Verlag: Springer / Springer Berlin Heidelberg / Springer, Berlin
- Artikelnr. des Verlages: 978-3-642-90557-5
- Softcover reprint of the original 1st ed. 1886
- Seitenzahl: 548
- Erscheinungstermin: 1. Januar 1886
- Deutsch
- Abmessung: 235mm x 155mm x 30mm
- Gewicht: 831g
- ISBN-13: 9783642905575
- ISBN-10: 3642905579
- Artikelnr.: 39616971
- Verlag: Springer / Springer Berlin Heidelberg / Springer, Berlin
- Artikelnr. des Verlages: 978-3-642-90557-5
- Softcover reprint of the original 1st ed. 1886
- Seitenzahl: 548
- Erscheinungstermin: 1. Januar 1886
- Deutsch
- Abmessung: 235mm x 155mm x 30mm
- Gewicht: 831g
- ISBN-13: 9783642905575
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Inhaltsverzeichniss.- Erster Abschnitt. Die Beobachtungsfehler und die Theorie ihrer Ausgleichung..- I. Uebersicht über die möglichen Fehler bei Beobachtungen..- 1. Fehlerquellen.- 2. Fehler der Umgebung.- 3. Fehler der Instrumente.- 4. Fehler des Beobachters.- 5. Schätzungsfehler.- 6. Persönliche Fehler.- 7. Fehler der Voreingenommenheit.- 8. Allgemeine Regel über die Wiederholung von Beobachtungen. Constante Fehler.- 9. Controlirbare und nicht controlirbare Fehler.- 10. Zufällige Fehler.- 11. Unterschied zwischen Untersuchen und Verificiren.- II. Problem der Ausgleichungsrechnung; Messungen und Untersuchungen..- 12. Möglichkeit fehlerfreier Beobachtungen.- 13. Aufgabe der zu schaffenden Analyse.- 14. Wahre Resultate und wahrscheinlichste Resultate; wahre Fehler und wahr-scheinlichste Fehler. Festsetzung über die Bezeichnungen.- 15. Klassificirung der physikalischen Arbeiten.- 16. Messungen und Untersuchungen.- 17. Stellung des Problems.- 18. Fehler der Beobachtungsgleichungen nach ihrem Ansatz, Fehler nach ihrer Ausgleichung.- 19. Der Darstellungsfehler.- 20. Die übrig bleibenden Fehler.- 21. Praktische Vereinfachung durch Abwälzung aller Fehler auf die zu be-stimmende Grösse.- 22. Principielle Notwendigkeit die einzelnen Fehler aus einander zu halten.- 23. Kritische Bedeutung der übrig bleibenden Fehler.- 24. Fassung des Problems.- III. Allgemeine Theorie der Ausgleichungsrechnung..- a) Fehlerwahrscheinlichkeit..- 25. Wahrscheinlichkeit eines Fehlers.- 26. Wahrscheinlichkeit für das Zusammenwirken mehrerer bestimmter Fehler.- 27. Welches Fehlersystem am ehesten zu erwarten ist.- b) Ausgleichung von Messungen..- 28. Ausgleichungsformel für Messungen.- c) Ausgleichung von Untersuchungen..- 29. Ausgleichungsformeln für Untersuchungen.- 30. Die Ausgleichungsformeln bestehen nur, wenn die Wahrscheinlichkeiten der Fehler von den bezüglichen Grössen dieser nicht unabhängig sind.- 31. Die Ausgleichungsformeln ersetzen die Beobachtungsgleichungen in jeder Hinsicht.- 32. Vereinfachung der Ausgleichungsformeln durch Einführung von Näherungs-werten.- d) Die Wahrscheinlichkeitsfunction für Fehler, die ihrer Grösse oder ihrer wahrscheinlichen Ursache nach bekannt sind..- 33. Bestimmung der Wahrscheinlichkeitsfunction, wenn die in der Unter-suchung wahrscheinlich vorgefallenen Fehler bekannt sind.- 34. Bestimmung der Wahrscheinlichkeitsfunction, wenn die wahrscheinliche Ursache der Fehler bekannt ist.- 35. Beispiel.- 36. Uncontrolirbare Fehler als zufällige aufgefasst.- Zweiter Abschnitt. Theorie der zufälligen Fehler; Ausgleichung ein-facher Messungen..- IV. Theorie der zufalligen Fehler; Princip des arithmetischen Mittels..- a) Messungen gleicher Schärfe..- 37. Zufällige Fehler können Resultate ebenso gut im Sinne des zu Viel als des zu Wenig verfälschen.- 38. Das Bernouilli'sche "Gesetz der grossen Zahlen".- 39. Die Häufigkeiten der einzelnen zufälligen Fehler stehen im Verhältnis zu den bezüglichen Wahrscheinlichkeiten.- 40. Jeder zufällige Fehler darf ebenso oft als positive wie als negative Grösse erwartet werden.- 41. Algebraische Summe aller Fehler von bestimmter Grösse.- 42. Algebraische Summe aller möglichen Fehler.- 43. Uebergang zum Princip des arithmetischen Mittels.- 44. Verhältnis der algebraischen Summe aller Fehler zu der absoluten Summe derselben.- 45. Durchschnittlicher Fehler und Resultirender Fehler.- 40. Erfahrungsmässig fallen grosse Fehler sehr viel seltener vor als kleine.- 47. Der durchschnittliche Fehler nähert sich mit wachsender Anzahl der Messungen einem bestimmten endlichen Grenzwert, der resultirende con-vergirt gegen Null.- 48. Princip des arithmetischen Mittels.- b) Messungen ungleicher Schärfe..- 49. Was einer Messmethode an Schärfe fehlt, kann durch Häufung der Einzel-messungen ersetzt werden.- 50. Ersetzung einer guten Einzelmessung durch mehrere weniger gute Einzel-messungen.- 51. Gewicht einer Messung; Bestimmung äquivalent dem Resultat wiederholter Messungen.- 52. Ausdehnung des Princips vom arithmetischen Mittel auf Bestimmungen ungleicher Schärfe.- 53. Analogieen mit anderen Berechnungen.- 54. Die übrig bleibenden und der resultirende Fehler.- c) Die Wahrscheinlichkeitsfunction für Messungen gleicher Schärfe..- 55. Unterschied zwischen der Ausgleichungsfolrmel und dem Princip des arithmetischen Mittels.- 56. Wahrscheinlichkeitsgesetz für wahre Fehler.- 57. Beziehung zwischen den Constanten A und h.- 58. Die Wahrscheinlichkeit eines Fehlers in ihrer Abhängigkeit von der Präcision der Messung.- 59. Die Wahrscheinlichkeit eines Fehlers in ihrer Abhängigkeit von der Grösse desselben. Die Wahrscheinlichkeitscurve.- d) Die charakteristischen Fehler..- 60. Einführung des mittleren Fehlers als desjenigen Fehlers, der bei der gerade benutzten Messmethode seine grösstmögliche Wahrscheinlichkeit besitzt.- 61. Der mittlere Fehler als Maass der Präcision einer Methode.- 62. Die Curve der mittleren Fehler, die Präcisionscurve, ist eine Hyperbel.- 63. Der resultirende und der durchschnittliche Fehler.- 64. Die Wahrscheinlichkeiten der charakteristischen Fehler.- 65. Der mittlere Fehler als Quadratwurzel des mittlern Fehlerquadrats.- 66.-67. Einführung des wahrscheinlichen Fehlers.- 68. Der wahrscheinliche Fehler als die mittlere Nullte Potenz der Fehler.- 69. Satz für die zahlenmässige Berechnung der Präcisionsconstante und der Anzahl der Fehler vom Betrage Null.- e) Andere Formen für das Wahrscheinlichkeitsgesetz; Theorie von Laplace..- 70. Zwei neue Formen für das Wahrscheinlichkeitsgesetz.- 71. Die Laplace'sche Ableitung des Wahrscheinlichkeitsgesetzes.- 72. Notwendige Aenderung.- 73. Specialisirung der der Laplace'schen Theorie zu Grunde liegenden Hypo-thesen; Erweiterung durch Bessel.- 74. Die charakteristischen Fehler nach der Laplace'schen Theorie. Zusammen-hang mit dem grösstmöglichen Fehler.- f) Verteilung der Fehler ihrer Grösse nach..- 75. Das Verteilungsgesetz.- 76. Specielles Beispiel.- 77. Analogie aus der kinetischen Gastheorie.- g) Bestimmungen ungleicher Schärfe..- 78. Zwei Kategorieen.- 79. Wahrscheinlichkeitsfunction.- 80. Zusammenhang zwischen dem wahren mittlern Fehler einer Bestimmung und dem Gewicht derselben.- 81. Anwachsen der Genauigkeit einer Bestimmung mit dem Gewicht.- 82. Verteilung der Fehler in verschieden scharfen Bestimmungsreihen.- 83. Verhältnisse zwischen entsprechcnden Fehlern zweier ungleich scharfer Methoden.- 84. Wie sich die zu erwartenden Fehler ändern, wenn das Gewicht einer Bestimmungsreihe geändert wird.- 85. Die wahrscheinlichsten Werte für die charakteristischen Fehler einer aus Bestimmungen ungleichen Gewichts zusammengesetzten Bestimmungsreihe.- 86. Messungen zu Gruppen zusammen zu fassen ist nur unter besondern Ver-hältnissen zu empfehlen.- h) Wahrscheinlichkeit für Fehlersysteme, Ursprung der Methode der kleinsten Quadrate..- 87. Wahrscheinlichkeit eines Systems von Fehlern.- 88. Die Ausgleichungsrechnung als Methode der kleinsten Quadrate.- 89. Das wahrscheinlichste System von Fehlern ist dasjenige, dessen mittlerer Fehler ein Minimum ist.- 90. Der mittlere Fehler als Fehler, der bei einer Messungsreihe im Ganzen zu erwarten steht. Andere Bedeutung des Axioms vom Minimum des mittleren Fehlers.- V. Uebergang von den wahren Verhältnissen zu den wahrscheinlichsten. Praktische Ausgleichungsrechnung..- 91. Die Praxis kann sich nicht mit wahren, sondern nur mit wahrscheinlichsten Fehlern beschäftigen.- 92. Zwei Gründe, aus denen die charakteristischen Fehler in der Wirklichkeit nicht genau berechnet werden konnen.- 93. Die wahrscheinlichsten Fehler weichen alle um eine und dieselbe Grösse, den resultirenden Fehler, von den wahren Fehlern ab.- 94. Berechnung der charakteristischen Fehler aus den wahrscheinlichsten Fehlern.- 95. Die Rechnungen liefern angenäherte wahre, nicht blos wahrscheinlichste Werte für die charakteristischen Fehler.- 96. Berechnung der Präcision.- 97. Einfluss der Beschränktheit der Messungswiederholungen auf die Be-rechnung der Präcision und der charakteristischen Fehler. Die wahr-scheinliche Unsicherheit dieser Berechnung. Relativ am geringsten ist dieselbe bei der des mittlern Fehlers.- 98. Zusammenfassung.- 99. Unterschied zwischen Theorie und Praxis hinsichtlich der Beurteilung des Resultats einer Messungsreihe.- 100. Die charakteristischen Fehler und die Präcision des Resultats.- 100a. Der mittlere Fehler des Resultats ist zugleich der wahrscheinlichste Fehler desselben.- VI. Uebersicht über die erlangten Ergebnisse..- 101. Gegenstand, Resultate.- a) Theoretische Ergebnisse..- 102. Messungen gleicher Schärfe.- 103. Messungen ungleicher Schärfe.- b) Ergebnisse für die praktische Anwendung..- 104. Das wahrscheinlichste Resultat und die wahrscheinlichsten Fehler.- 105. Die charakteristischen Fehler und die Präcision der einzelnen Messungen.- 106. Charakteristische Fehler und Präcision des Resultats.- 107. Die Zeichen der charakteristischen Fehler und die Bedeutung der Hinzu-fügung dieser zu den Messungen und Resultaten.- VII. Kritik Von Beobachtungen und ihrer Ausgleichung..- 108. Zu discutirende Fragen.- a) Bemerkungen über systematische Fehler..- 109. Systematische Fehler aus der Unkenntnis der Einflüsse, denen die zu messende Grösse unterliegt.- 110. Systematische Fehler in Einrichtung und Ausführung der Messung.- 111. Bedingungen zur Vermeidung und Auffindung systematischer Fehler.- b) Formale Kriterien für die Zufälligkeit übrig gebliebener Fehlerreihen..- 112. Die übrig bleibenden systematischen Yerfälschungen.- 113. Anordnung der Fehlerreihe.- 114. Die beiden Haupteigenschaften der zufalligen Fehler.- 115. Kritik der Grösse der einzelnen Fehler; auszuschliessende Beobachtungen.- 116. Kriterien aus den Zeichen, Zeichenwechsel und Zeichenfolgen.- 117. Seeliger's Formulirung der Zeichen-Kriterien.- 118. Das Abbe'sche Kriterium.- 119 a. Kriterien für die Giltigkeit des Wahrscheinlichkeitsgesetzes.- 119 b. Kriterien aus dem Verteilungsgesetz der Fehler.- 120. Kriterien aus den Beziehungen zwischen den charakteristischen Fehlern.- 121. Zeichenkriterien aus den Differenzenreihen der Fehler.- 122. Kriterien aus dem Verschwinden von Differenzenreihen.- 123. Neue Fassung des Abbe'schen Kriteriums als Satz von der mittlern ersten Fehlerdifferenz.- 124. Beispiel.- 125. Kriterium aus der Zu- und Abnahme der Fehlerbeträge.- 126. Der Wert der Kriterien und die Notwendigkeit eingehender Protokolle.- 127. Zusammenstellung der Kriterien für zufällige Fehlerreihen.- c) Praktischer Wert der charakteristischen Fehler..- 128. Der mittlere Fehler des Resultats als Kriterium für das Erreichte.- 129. Die charakteristischen Fehler der Einzelmessungen als Kriterien für die Methode der Beobachtung.- VIII. Zahlenbeispiel für die Anwendung der Theorie einfacher Messungen..- 130. Die gemessene Grösse.- a) Die Messungen werden le liglich als Zahlenbeispiel für die entwickelten Ausgleichungsformeln benutzt..- 131. Bildung von Gruppenmitteln.- 132. Das wahrscheinlichste Resultat aller Messungen.- 133. Die charakteristischen Fehler der Einzelmessungen, wenn jede Gruppe für sich betrachtet wird.- 134. Die charakteristischen Fehler der Einzelmessungen und des Resultats be-rechnet aus alien Messungen.- 135. Bedeutung des Endergebnisses und seines mittlern Fehlers.- 136. Die charakteristischen Fehler berechnet aus den wahrscheinlichsten Fehlern der Gruppenmittel.- 137. Die Präcision; Berechnung und Erklärung.- 138. Das Wahrscheinlichkeitsgesetz.- b) Die Messungen werden nach ihren Fehlerquellen discutirt, die Fehler auf ihre Zufälligkeit geprüft..- 139. Die Fehlerquellen.- 140. Notwendige Zusammenziehung mehrerer Einzelmessungen zu einer Einzel-messung, um wirklich gleichwertige Messungen zu gewinnen.- 141. Zerlegung der Messungsreihe in zwei Teile, Anordnung in jedem Teile.- 142. Discussion des ersten Teils der Messungen.- 143. Der zweite Teil der Messungen.- 144. Ergebnisse für die Methoden.- Dritter Abschnitt. Zusammengesetzte Messungen, Abschweifung über Determinanten und die Theorie linearer Gleichungen..- IX. Unbedingte zusammengesetzte Messungen..- a) Wahrscheinlichste Ergebnisse..- 145. Begriff zusammengesetzter Messungen.- 146. Notwendigkeit, die Elemente unabhängig von einander zu messen.- 147. Ableitung des wahrscheinlichsten Resultats für einen Satz von Elementen.- 148. Wahrscheinlichstes Resultat bei mehreren Sätzen von Elementen.- 149. Problem der Gewichtsbestimmung einer Function unabhängiger Elemente.- b) Fehler und Präcision..- 150. Fehlerrechnung. Notwendigkeit genaue Messungen vorauszusetzen.- 151. Unterschiede der Fehler zusammengesetzter Messungen gegen die einfacher.- 152. Annahmen über die Fehler zusammengesetzter Messungen.- 153. Wahrscheinlichkeitsfunction zusammengesetzter Fehler.- 154. Die Präcisionsconstante eines zusammengesetzten Fehlers.- 155. Präcision, charakteristischer Fehler und Gewicht zusammengesetzter Messungen.- 156. Giltigkeitsbereich des voraufgehenden Satzes.- 157. Strengerer Beweis für den Fall des mittlern Fehlers.- 158. Specielle Anwendungen.- 159. Principieller Unterschied zwischen einer mehrfach genommenen Messung und einer mehrfach zusammengesetzten Messung. Fortsetzung der Beispiele.- X. Bedingte zusammengesetzte Messungen..- a) Ableitung der wahrscheinlichsten Resultate..- 160. Art der Abhängigkeit der Elemente von einander.- 161. Methode der Elimination überschüssiger Elemente.- 162. Welche Beträge bedingter Elemente als die wahrscheinlichsten zu erachten sind.- 163. Einführung der Verbessemngen.- 164. Die Verbesserungen werden der Bedingung unterworfen, dass sie die grösste Wahrscheinlichkeit für sich haben.- 165. Maximum oder Minimum unter Nebenbedingungen.- 166. Aufstelhmg der Gleichungen fur die Verbesserungen und Correlaten.- 167. Verbesserung der zusammengesetzten Grösse.- b) Fehlerrechnung..- 168. Die beobachteten und ausgeglichenen mittlern Fehler der Elemente.- 169. Mittlerer Fehler der zusammengesetzten Grösse. Vorbereitende Schritte.- 170. Die Theorie der linearen Gleichungen. In welchem Sinne die Determinanten Verwendung finden sollen.- XI. Abschweifung über Determinanten und lineare Gleichungen..- a) Determinanten..- 171. Definition der Determinanten.- 172. Unveränderlichkeit des Betrages einer Determinante bei gewissen Operationen.- 173. Wann eine Determinante identisch Null ist.- 174. Zerlegung von Determinanten.- 175. Weitere Unveränderlichkeitseigenschaften.- 176. Unterdeterminanten; Entwickelung nach denselben.- 177. Differentialquotienten einer Determinante, Entwickelung nach ihnen.- 178. Beispiele von Entwickelungen von Determinanten, Regeln zur Erleichterung der Entwickelung.- 179. Multiplicationstheorern für Determinanten.- b) Theorie der linearen Gleichungen..- 180. Bedingung für die Existenz eines Systems homogener Gleichungen.- 181. Bedingung für die Existenz nicht homogener Gleichungen.- 182. Auflösung linearer Gleichungen.- 183. Allgemeine Reduction einer Determinante.- 184. Schema für die Ausrechnung (Reduction) linearer Gleichungen.- 185. Die Werte der Unbekannten, zwei Formen.- 186. Verringerung der Operationen für symmetrische Gleichungen.- XII. Bedingte zusammengesetzte Messungen..- Fortsetzung der Fehlerrechnung..- 187a. Mittlerer Fehler der zusammengesetzten Grösse. Bildung der diese ersetzenden function.- 187b. Mittlerer Fehler der zusammengesetzten Grösse. Einführung der Uebertragungsgrössen.- 188. Mittlerer Fehler der zusammengesetzten Grösse. Darstellung der Differential-quotienten und definitive Formel.- 189. Beispiel.- XIII. Zusammengesetzte Messungen mit zum Teil zusammengesetzten Elementen..- c) Ersetzung von Elementen durch andere Elemente..- 190. Art der Abhängigkeit und Berechnung des wahrscheinlichsten Resultats.- 191. Fehlerrechnung für eine Grösse, deren Elemente aus andern beobachteten Elementen zusammengesetzt sind.- 192. Beispiel.- XIV. Kritik zusammengesetzter Messungen..- 193. Beurteilung der Schlussergebnisse, Einführung des zu erwartenden mittlern Fehlers.- 194. Kriterien für das Maass von Sorgfalt, welches den einzelnen Elementen zu widmen ist.- 195. Kriterium für die Wahl des geeignetsten Elementensystems.- 196. Beispiel zur Entscheidung für ein bestimmtes Elementensystem.- 197. Kriterien für die Wahl der Beträge der Elemente.- 198. Beispiel zur Entscheidung über die Beträge der Elemente.- XV. Zusammenstellung der Ergebnisse..- 199. Unbedingte zusammengesetzte Messungen.- 200. Bedingte zusammengesetzte Messungen.- 201. Zusammengesetzte Messungen, bei denen ein Teil der Elemente selbst zusammengesetzte Grössen sind.- 202. Kritik der Messungen und Resultate, Information über die zu wäblende Messungsmethode und das zu wählende Elementensystem.- Vierter Abschnitt. Ausgleichung von Untersuchungen..- XVI. Ableitung der Normalgleichungen..- 203. Aufgabe des Physikers bei Untersuchungen.- 204. Festsetzung über die analytische Darstellung der auszugleichenden Be-ziehungen.- 205. Stellung der Aufgabe.- 206. Die allgemeinen Ausgleichungsformeln.- 207. Verhältnis der Ausgleichungsformeln zu den Beobachtungsgleichungen.- 208. Die Ausgleichungsformeln nach dem Gaussischen Fehlergesetz.- 209. Die Ausgleichungsformeln als Consequenz des Princips vom kleinsten mittlern Fehler.- 210. Allgemeine Fehlergleichungen.- 211a. Allgemeine Normalgleichungen.- 211b. Notwendigkeit eines Näherungsverfahrens bei der Behandlung der allgemeinen Normalgleichungen.- 212. Normalgleichungen für lineare Functionen.- 213. Ausgleichung homogener linearer Functionen.- 214. Zurückführung des allgemeinen Falls auf Ausgleichung linearer Functionen in successiver Näherung.- 215. Andere Methoden Ausgleichungen verwickelter Functionen auf die linearer zurückzuführen.- 216. Die praktischen Fehler- und Normalgleichungen.- XVII. Fehlerrechnung..- a) Beobachtete mittlere Fehler und Gewichte der Beobachtungsgleichungen..- 217. Die beobachteten mittlern Fehler und Gewichte der Beobachtungsgleichungen.- b) Ausgeglichene mittlere Fehler und Gewichte der Beobachtungsgleichungen..- 218 a. Der wahre mittlere Fehler.- 218 b. Der wahrscheinlicbste mittlere Fehler.- 218 c. Genäherter Wert für den wahren mittlern Fehler.- 219. Die mittlere Unsicherheit der charakteristischen Fehler.- 220. Uebergang zu den tatsächlichen Verhältnissen. Formeln.- 221. Ableitung einer besondern Formel für die Fehlerquadratsumme.- 222. Wert der Formel [pv2] = lh+1, h zur summarischen Controle der numerischen Rechnungen.- c) Fehlerrechnung für die ausgeglichenen Grössen..- 223. Die Fehler der Coefficienten als kritisches Hilfsmittel.- 224. Vereinfachung des Problems. Notwendigkeit der Rechnung durch Nähe-rungen.- 225. Entwickelte Formeln für die mittlern Fehler der Coefficienten.- 226. Erste Entwickelung der mittlern Fehler der Coefficienten.- 227. Zweite Entwickelung, Darstellung durch die coordinirten Coefficienten.- 228. Dritte Entwickelung, explicite Formeln.- 229. Vierte Methode, Berechnung aus den AequivalentGrössen. Die mittlern Fehler und Gewichte der AequivalentGrössen.- 230. Fünfte Methode, Ableitung aus der Präcision. Die Normalgleichungen geben die wahrscheinlichsten Coefficienten.- d) Die charakteristischen Fehler von Functionen ausgeglichener Grössen..- 231. Frage nach den mittlern Fehlern von Functionen der Coefficienten.- 232. Darstellung durch die coordinirten Coefficienten.- 233. Entwickelung allgemeiner Formeln.- 234. Berechnung aus den AequivalentGrössen.- 235. Benutzung der vorstehenden Formeln bei Transformationen.- e) Die Fehler des Endresultats..- 236. Endresultat einer Ausgleichung.- XVIII. Untersuchungen mit Nebenbedingungen..- 237. Untersuchungen mit Nebenbedingungen. Stellmg des Problems.- 238. Directe Lösung durch Elimination der überschüssigen Coefficienten.- 239. Ausgleichung nach Bessel. a) Grundlagen.- 239 b. Die Normalgleichungen.- 239 c. Fehler der Beobachtungsgleichungen, Controlformel.- 239 d. Die Fehler der Coefficienten und von Functionen der Coefficienten.- 240. Methode von Hansen und Andrä, Ausgleichung durch die AequivalentGrössen.- XIX. Ausgleichung von einander abhängiger Beobachtungen..- 241. Unabhängige Beobachtungen und abhängige Beobachtungen.- 242. Fälle abhängiger Beobachtungen. Differenz- oder Nullpunktsbeobachtungen. Beispiele.- 243. Zwei Annahmen, um die Yerbindung zwischen Beobachtungsgleichungen zu lösen.- 244a. Normalgleichungen für verbundene Beobachtungsgleichungen. Erste Lösung.- 244b. Zweite Auflösung.- 245. Streng zu erfüllende verbundene Gleichungen.- 246 a.-b. Beispiel für die Ausgleichung verbundener Beobachtungsgleichungen.- XX. Ueber die Form, die man den Beobachtungsgleichungen zu geben hat..- 247. Mit den Beobachtungsgleichungen dürfen vor ihrer Ausgleichung keinerlei Operationen vorgenommen werden, die ihre Gewichte beeinflussen.- 248. Wenn die Gleichungen abgeändert werden, müssen auch ihre Gewichte geändert werden, indessen wird das Resultat unsicherer.- 249. Beispiel 1.- 250. Beispiel 2.- 251. Form der auszugleichenden Beobachtungsgleichungen bei praktischen Rechnungen; Beispiel.- 252. Ausgleichen von Beobachtungsgleiehungen, die nach der darzustellenden Grösse entwickelt sind.- 253. Aufstellung der Beobachtungsgleichungen nach theoretischen Gesichts-punkten.- XXI. Ueber die Bestimmung der Gewichte der Beobachtungsgleichungen..- 254. Berechnung der Gewichte aus den mittlern Fehlern der beobachteten Elemente.- 255. Befreiung von systematischen Verfälschungen, Ausgleichung der beobachteten mittlern Fehler der Gleichungen in sich zur Ableitung genauerer Gewichte.- 256. Beispiel 1.- 257. Beispiel 2.- 258. Mittlere Unsicherheit der berechneten Gewichte.- 259. Wann die Gewichte noch aus den mittlern Fehlern der Elemente berechnet werden dürfen.- 260. Zuziehung anderweitig ausgeführter Untersuchungen zur Ableitung der mittlern Fehler.- 261. Ableitung der Gewichte aus den Messungsanzahlen.- 262. Beobachtungsgleichungen zu Mittelgleichungen zu vereinigen, ist im All-gemeinen nicht zu empfehlen.- XXII. Verallgemeinerung und Zusammenfassung der Ergebnisse; Rechenschemata..- a) Verallgemeinerung der Bedeutung der Entwickelungen..- 263. Die Entwickelungen gelten für irgend welche Formen der Beobachtungsgleiehungen.- 264. Die Entwickelungen sind unabhängig davon, ob die Form der Beobachtungsgleiehungen bestimmt oder hypothetisch ist.- b) Beobachtungsgleiehungen und Fehlergleichungen..- 265..- c) Die Gewichte..- 266..- d) Die Näherungsrechnungen..- 267..- e) Rechenschema für unabhängige und unbedingte Untersuchungen..- 268. Bildung der Normalgleichungen.- 269. Reduction der Normalgleichungen.- 270. Regeln für die Ausführung der Ausgleichung.- 271. Rechenschema für die Ausgleichung.- 272. Controlformel.- f1) Berücksichtigung von Bedingungsgleichungen zwischen den gesuchten Grössen..- 273. Die Normalgleichungen.- 274. Die Reduction.- f2) Beobachtete Grossen haben Bedingungsgleichungen, in welchen noch un-bekannte Grössen enthalten sind, streng zu erfüllen (Erweiterung zu Art. 200)..- 275..- g) Ausgleichung abhängiger Beobachtungen..- 276..- XXIII. Kritik von Untersuchungen..- 277. Kritische Arbeiten vor der Ausgleichung.- 278. Systematische Fehler in den einzelnen Beobachtungsgleichungen.- 279 a. Systematische Verfälschungen der Beobachtungsgleichungen gegen einander. Notwendigkeit von Nebenuntersuchungen.- 279b. Beispiel.- 279 c. Aufhebung der systematischen Verfälschung durch Deutung der durch die Beobachtungsgleichungen erlangten Resultate.- 279 d. Fortführung des Beispiels.- 280. Die Trennung der einzelnen Verfälschungen von einander.- 281. Anordnung der Fehlerreihe nach den vermutlichen Ursachen der systematischen Verfälschungen.- 282. Einführung von Correctionsgliedern zur Berücksichtigung der systematischen Fehler bei den Messungen einzelner Elemente.- 283. Correctionsglieder für systematische Verfälschung der Beträge der Elemente.- 284. Beispiel.- 285. Correctionsglieder wegen allgemeiner systematischer Verfälschung der Beobachtungsgleichungen.- 286. Fälle, in denen systematische Verfälschungen sich nicht durch Correctionsglieder aufheben lassen.- 287. Systematische Verfälschung durch die analytische Form der Beobachtungsgleichungen.- 288. Kritik der Resultate einer Untersuchung.- Fünfter Abschnitt. Interpolation, Differentiation und Quadratur..- XXIV. Interpolation..- 289. Aufgabe.- 290. Graphische Interpolation.- 291. Analytische Interpolation.- 291 a. Darstellung durch algebraische Functionen. Lagrange'sche Interpolationsformel.- 291b. Darstellung durch periodisehe Reihen.- 291c. Die Gaussischen Interpolationsformeln.- 291d. Ausgleichung durch periodische Reihen.- 291 e. Beispiel. Schema für die Berechnung des täglichen Ganges einer Erscheinung aus den 24 Stundenbeobachtungen.- 292. Numerische Interpolation.- 292 a. Interpolationsformel mit Diagonaldifferenzen.- 292 b. Interpolationsformeln mit Zeilen-Differenzen.- 292 c. Extrapolation.- 292 d. Interpolation für mehrere Argumente.- XXV. Differentiation und Integration..- a) Differentiation..- 293. Graphische Differentiation.- 294. Analytische Differentiation.- 295. Numerische Differentiation.- b) Integration..- 296. Graphisches Integriren. (Mechanische Quadratur.).- 297. Analytische Integration.- 297 a. Integration durch die Lagrangesche Interpolationsformel.- 297 b. Die Newton-Cotesschen Integralformeln.- 297 c. Die Gaussischen Integralformeln.- 297 d. Mehrfache Integration durch die Lagrangesche Interpolationsformel.- 297 e. Integration nach mehreren Variabeln.- 297 f. Integration durch periodische Reihen.- 298. Numerische Integration, allgemeine Formel.- 298 a. Besondere Formeln für einfache Integration.- 298 b. Integration von Argument zu Argument.- 298 c. Integration von Intervallmitte zu Intervallmitte.- 298 d. Zweifache Integration.
Inhaltsverzeichniss.- Erster Abschnitt. Die Beobachtungsfehler und die Theorie ihrer Ausgleichung..- I. Uebersicht über die möglichen Fehler bei Beobachtungen..- 1. Fehlerquellen.- 2. Fehler der Umgebung.- 3. Fehler der Instrumente.- 4. Fehler des Beobachters.- 5. Schätzungsfehler.- 6. Persönliche Fehler.- 7. Fehler der Voreingenommenheit.- 8. Allgemeine Regel über die Wiederholung von Beobachtungen. Constante Fehler.- 9. Controlirbare und nicht controlirbare Fehler.- 10. Zufällige Fehler.- 11. Unterschied zwischen Untersuchen und Verificiren.- II. Problem der Ausgleichungsrechnung; Messungen und Untersuchungen..- 12. Möglichkeit fehlerfreier Beobachtungen.- 13. Aufgabe der zu schaffenden Analyse.- 14. Wahre Resultate und wahrscheinlichste Resultate; wahre Fehler und wahr-scheinlichste Fehler. Festsetzung über die Bezeichnungen.- 15. Klassificirung der physikalischen Arbeiten.- 16. Messungen und Untersuchungen.- 17. Stellung des Problems.- 18. Fehler der Beobachtungsgleichungen nach ihrem Ansatz, Fehler nach ihrer Ausgleichung.- 19. Der Darstellungsfehler.- 20. Die übrig bleibenden Fehler.- 21. Praktische Vereinfachung durch Abwälzung aller Fehler auf die zu be-stimmende Grösse.- 22. Principielle Notwendigkeit die einzelnen Fehler aus einander zu halten.- 23. Kritische Bedeutung der übrig bleibenden Fehler.- 24. Fassung des Problems.- III. Allgemeine Theorie der Ausgleichungsrechnung..- a) Fehlerwahrscheinlichkeit..- 25. Wahrscheinlichkeit eines Fehlers.- 26. Wahrscheinlichkeit für das Zusammenwirken mehrerer bestimmter Fehler.- 27. Welches Fehlersystem am ehesten zu erwarten ist.- b) Ausgleichung von Messungen..- 28. Ausgleichungsformel für Messungen.- c) Ausgleichung von Untersuchungen..- 29. Ausgleichungsformeln für Untersuchungen.- 30. Die Ausgleichungsformeln bestehen nur, wenn die Wahrscheinlichkeiten der Fehler von den bezüglichen Grössen dieser nicht unabhängig sind.- 31. Die Ausgleichungsformeln ersetzen die Beobachtungsgleichungen in jeder Hinsicht.- 32. Vereinfachung der Ausgleichungsformeln durch Einführung von Näherungs-werten.- d) Die Wahrscheinlichkeitsfunction für Fehler, die ihrer Grösse oder ihrer wahrscheinlichen Ursache nach bekannt sind..- 33. Bestimmung der Wahrscheinlichkeitsfunction, wenn die in der Unter-suchung wahrscheinlich vorgefallenen Fehler bekannt sind.- 34. Bestimmung der Wahrscheinlichkeitsfunction, wenn die wahrscheinliche Ursache der Fehler bekannt ist.- 35. Beispiel.- 36. Uncontrolirbare Fehler als zufällige aufgefasst.- Zweiter Abschnitt. Theorie der zufälligen Fehler; Ausgleichung ein-facher Messungen..- IV. Theorie der zufalligen Fehler; Princip des arithmetischen Mittels..- a) Messungen gleicher Schärfe..- 37. Zufällige Fehler können Resultate ebenso gut im Sinne des zu Viel als des zu Wenig verfälschen.- 38. Das Bernouilli'sche "Gesetz der grossen Zahlen".- 39. Die Häufigkeiten der einzelnen zufälligen Fehler stehen im Verhältnis zu den bezüglichen Wahrscheinlichkeiten.- 40. Jeder zufällige Fehler darf ebenso oft als positive wie als negative Grösse erwartet werden.- 41. Algebraische Summe aller Fehler von bestimmter Grösse.- 42. Algebraische Summe aller möglichen Fehler.- 43. Uebergang zum Princip des arithmetischen Mittels.- 44. Verhältnis der algebraischen Summe aller Fehler zu der absoluten Summe derselben.- 45. Durchschnittlicher Fehler und Resultirender Fehler.- 40. Erfahrungsmässig fallen grosse Fehler sehr viel seltener vor als kleine.- 47. Der durchschnittliche Fehler nähert sich mit wachsender Anzahl der Messungen einem bestimmten endlichen Grenzwert, der resultirende con-vergirt gegen Null.- 48. Princip des arithmetischen Mittels.- b) Messungen ungleicher Schärfe..- 49. Was einer Messmethode an Schärfe fehlt, kann durch Häufung der Einzel-messungen ersetzt werden.- 50. Ersetzung einer guten Einzelmessung durch mehrere weniger gute Einzel-messungen.- 51. Gewicht einer Messung; Bestimmung äquivalent dem Resultat wiederholter Messungen.- 52. Ausdehnung des Princips vom arithmetischen Mittel auf Bestimmungen ungleicher Schärfe.- 53. Analogieen mit anderen Berechnungen.- 54. Die übrig bleibenden und der resultirende Fehler.- c) Die Wahrscheinlichkeitsfunction für Messungen gleicher Schärfe..- 55. Unterschied zwischen der Ausgleichungsfolrmel und dem Princip des arithmetischen Mittels.- 56. Wahrscheinlichkeitsgesetz für wahre Fehler.- 57. Beziehung zwischen den Constanten A und h.- 58. Die Wahrscheinlichkeit eines Fehlers in ihrer Abhängigkeit von der Präcision der Messung.- 59. Die Wahrscheinlichkeit eines Fehlers in ihrer Abhängigkeit von der Grösse desselben. Die Wahrscheinlichkeitscurve.- d) Die charakteristischen Fehler..- 60. Einführung des mittleren Fehlers als desjenigen Fehlers, der bei der gerade benutzten Messmethode seine grösstmögliche Wahrscheinlichkeit besitzt.- 61. Der mittlere Fehler als Maass der Präcision einer Methode.- 62. Die Curve der mittleren Fehler, die Präcisionscurve, ist eine Hyperbel.- 63. Der resultirende und der durchschnittliche Fehler.- 64. Die Wahrscheinlichkeiten der charakteristischen Fehler.- 65. Der mittlere Fehler als Quadratwurzel des mittlern Fehlerquadrats.- 66.-67. Einführung des wahrscheinlichen Fehlers.- 68. Der wahrscheinliche Fehler als die mittlere Nullte Potenz der Fehler.- 69. Satz für die zahlenmässige Berechnung der Präcisionsconstante und der Anzahl der Fehler vom Betrage Null.- e) Andere Formen für das Wahrscheinlichkeitsgesetz; Theorie von Laplace..- 70. Zwei neue Formen für das Wahrscheinlichkeitsgesetz.- 71. Die Laplace'sche Ableitung des Wahrscheinlichkeitsgesetzes.- 72. Notwendige Aenderung.- 73. Specialisirung der der Laplace'schen Theorie zu Grunde liegenden Hypo-thesen; Erweiterung durch Bessel.- 74. Die charakteristischen Fehler nach der Laplace'schen Theorie. Zusammen-hang mit dem grösstmöglichen Fehler.- f) Verteilung der Fehler ihrer Grösse nach..- 75. Das Verteilungsgesetz.- 76. Specielles Beispiel.- 77. Analogie aus der kinetischen Gastheorie.- g) Bestimmungen ungleicher Schärfe..- 78. Zwei Kategorieen.- 79. Wahrscheinlichkeitsfunction.- 80. Zusammenhang zwischen dem wahren mittlern Fehler einer Bestimmung und dem Gewicht derselben.- 81. Anwachsen der Genauigkeit einer Bestimmung mit dem Gewicht.- 82. Verteilung der Fehler in verschieden scharfen Bestimmungsreihen.- 83. Verhältnisse zwischen entsprechcnden Fehlern zweier ungleich scharfer Methoden.- 84. Wie sich die zu erwartenden Fehler ändern, wenn das Gewicht einer Bestimmungsreihe geändert wird.- 85. Die wahrscheinlichsten Werte für die charakteristischen Fehler einer aus Bestimmungen ungleichen Gewichts zusammengesetzten Bestimmungsreihe.- 86. Messungen zu Gruppen zusammen zu fassen ist nur unter besondern Ver-hältnissen zu empfehlen.- h) Wahrscheinlichkeit für Fehlersysteme, Ursprung der Methode der kleinsten Quadrate..- 87. Wahrscheinlichkeit eines Systems von Fehlern.- 88. Die Ausgleichungsrechnung als Methode der kleinsten Quadrate.- 89. Das wahrscheinlichste System von Fehlern ist dasjenige, dessen mittlerer Fehler ein Minimum ist.- 90. Der mittlere Fehler als Fehler, der bei einer Messungsreihe im Ganzen zu erwarten steht. Andere Bedeutung des Axioms vom Minimum des mittleren Fehlers.- V. Uebergang von den wahren Verhältnissen zu den wahrscheinlichsten. Praktische Ausgleichungsrechnung..- 91. Die Praxis kann sich nicht mit wahren, sondern nur mit wahrscheinlichsten Fehlern beschäftigen.- 92. Zwei Gründe, aus denen die charakteristischen Fehler in der Wirklichkeit nicht genau berechnet werden konnen.- 93. Die wahrscheinlichsten Fehler weichen alle um eine und dieselbe Grösse, den resultirenden Fehler, von den wahren Fehlern ab.- 94. Berechnung der charakteristischen Fehler aus den wahrscheinlichsten Fehlern.- 95. Die Rechnungen liefern angenäherte wahre, nicht blos wahrscheinlichste Werte für die charakteristischen Fehler.- 96. Berechnung der Präcision.- 97. Einfluss der Beschränktheit der Messungswiederholungen auf die Be-rechnung der Präcision und der charakteristischen Fehler. Die wahr-scheinliche Unsicherheit dieser Berechnung. Relativ am geringsten ist dieselbe bei der des mittlern Fehlers.- 98. Zusammenfassung.- 99. Unterschied zwischen Theorie und Praxis hinsichtlich der Beurteilung des Resultats einer Messungsreihe.- 100. Die charakteristischen Fehler und die Präcision des Resultats.- 100a. Der mittlere Fehler des Resultats ist zugleich der wahrscheinlichste Fehler desselben.- VI. Uebersicht über die erlangten Ergebnisse..- 101. Gegenstand, Resultate.- a) Theoretische Ergebnisse..- 102. Messungen gleicher Schärfe.- 103. Messungen ungleicher Schärfe.- b) Ergebnisse für die praktische Anwendung..- 104. Das wahrscheinlichste Resultat und die wahrscheinlichsten Fehler.- 105. Die charakteristischen Fehler und die Präcision der einzelnen Messungen.- 106. Charakteristische Fehler und Präcision des Resultats.- 107. Die Zeichen der charakteristischen Fehler und die Bedeutung der Hinzu-fügung dieser zu den Messungen und Resultaten.- VII. Kritik Von Beobachtungen und ihrer Ausgleichung..- 108. Zu discutirende Fragen.- a) Bemerkungen über systematische Fehler..- 109. Systematische Fehler aus der Unkenntnis der Einflüsse, denen die zu messende Grösse unterliegt.- 110. Systematische Fehler in Einrichtung und Ausführung der Messung.- 111. Bedingungen zur Vermeidung und Auffindung systematischer Fehler.- b) Formale Kriterien für die Zufälligkeit übrig gebliebener Fehlerreihen..- 112. Die übrig bleibenden systematischen Yerfälschungen.- 113. Anordnung der Fehlerreihe.- 114. Die beiden Haupteigenschaften der zufalligen Fehler.- 115. Kritik der Grösse der einzelnen Fehler; auszuschliessende Beobachtungen.- 116. Kriterien aus den Zeichen, Zeichenwechsel und Zeichenfolgen.- 117. Seeliger's Formulirung der Zeichen-Kriterien.- 118. Das Abbe'sche Kriterium.- 119 a. Kriterien für die Giltigkeit des Wahrscheinlichkeitsgesetzes.- 119 b. Kriterien aus dem Verteilungsgesetz der Fehler.- 120. Kriterien aus den Beziehungen zwischen den charakteristischen Fehlern.- 121. Zeichenkriterien aus den Differenzenreihen der Fehler.- 122. Kriterien aus dem Verschwinden von Differenzenreihen.- 123. Neue Fassung des Abbe'schen Kriteriums als Satz von der mittlern ersten Fehlerdifferenz.- 124. Beispiel.- 125. Kriterium aus der Zu- und Abnahme der Fehlerbeträge.- 126. Der Wert der Kriterien und die Notwendigkeit eingehender Protokolle.- 127. Zusammenstellung der Kriterien für zufällige Fehlerreihen.- c) Praktischer Wert der charakteristischen Fehler..- 128. Der mittlere Fehler des Resultats als Kriterium für das Erreichte.- 129. Die charakteristischen Fehler der Einzelmessungen als Kriterien für die Methode der Beobachtung.- VIII. Zahlenbeispiel für die Anwendung der Theorie einfacher Messungen..- 130. Die gemessene Grösse.- a) Die Messungen werden le liglich als Zahlenbeispiel für die entwickelten Ausgleichungsformeln benutzt..- 131. Bildung von Gruppenmitteln.- 132. Das wahrscheinlichste Resultat aller Messungen.- 133. Die charakteristischen Fehler der Einzelmessungen, wenn jede Gruppe für sich betrachtet wird.- 134. Die charakteristischen Fehler der Einzelmessungen und des Resultats be-rechnet aus alien Messungen.- 135. Bedeutung des Endergebnisses und seines mittlern Fehlers.- 136. Die charakteristischen Fehler berechnet aus den wahrscheinlichsten Fehlern der Gruppenmittel.- 137. Die Präcision; Berechnung und Erklärung.- 138. Das Wahrscheinlichkeitsgesetz.- b) Die Messungen werden nach ihren Fehlerquellen discutirt, die Fehler auf ihre Zufälligkeit geprüft..- 139. Die Fehlerquellen.- 140. Notwendige Zusammenziehung mehrerer Einzelmessungen zu einer Einzel-messung, um wirklich gleichwertige Messungen zu gewinnen.- 141. Zerlegung der Messungsreihe in zwei Teile, Anordnung in jedem Teile.- 142. Discussion des ersten Teils der Messungen.- 143. Der zweite Teil der Messungen.- 144. Ergebnisse für die Methoden.- Dritter Abschnitt. Zusammengesetzte Messungen, Abschweifung über Determinanten und die Theorie linearer Gleichungen..- IX. Unbedingte zusammengesetzte Messungen..- a) Wahrscheinlichste Ergebnisse..- 145. Begriff zusammengesetzter Messungen.- 146. Notwendigkeit, die Elemente unabhängig von einander zu messen.- 147. Ableitung des wahrscheinlichsten Resultats für einen Satz von Elementen.- 148. Wahrscheinlichstes Resultat bei mehreren Sätzen von Elementen.- 149. Problem der Gewichtsbestimmung einer Function unabhängiger Elemente.- b) Fehler und Präcision..- 150. Fehlerrechnung. Notwendigkeit genaue Messungen vorauszusetzen.- 151. Unterschiede der Fehler zusammengesetzter Messungen gegen die einfacher.- 152. Annahmen über die Fehler zusammengesetzter Messungen.- 153. Wahrscheinlichkeitsfunction zusammengesetzter Fehler.- 154. Die Präcisionsconstante eines zusammengesetzten Fehlers.- 155. Präcision, charakteristischer Fehler und Gewicht zusammengesetzter Messungen.- 156. Giltigkeitsbereich des voraufgehenden Satzes.- 157. Strengerer Beweis für den Fall des mittlern Fehlers.- 158. Specielle Anwendungen.- 159. Principieller Unterschied zwischen einer mehrfach genommenen Messung und einer mehrfach zusammengesetzten Messung. Fortsetzung der Beispiele.- X. Bedingte zusammengesetzte Messungen..- a) Ableitung der wahrscheinlichsten Resultate..- 160. Art der Abhängigkeit der Elemente von einander.- 161. Methode der Elimination überschüssiger Elemente.- 162. Welche Beträge bedingter Elemente als die wahrscheinlichsten zu erachten sind.- 163. Einführung der Verbessemngen.- 164. Die Verbesserungen werden der Bedingung unterworfen, dass sie die grösste Wahrscheinlichkeit für sich haben.- 165. Maximum oder Minimum unter Nebenbedingungen.- 166. Aufstelhmg der Gleichungen fur die Verbesserungen und Correlaten.- 167. Verbesserung der zusammengesetzten Grösse.- b) Fehlerrechnung..- 168. Die beobachteten und ausgeglichenen mittlern Fehler der Elemente.- 169. Mittlerer Fehler der zusammengesetzten Grösse. Vorbereitende Schritte.- 170. Die Theorie der linearen Gleichungen. In welchem Sinne die Determinanten Verwendung finden sollen.- XI. Abschweifung über Determinanten und lineare Gleichungen..- a) Determinanten..- 171. Definition der Determinanten.- 172. Unveränderlichkeit des Betrages einer Determinante bei gewissen Operationen.- 173. Wann eine Determinante identisch Null ist.- 174. Zerlegung von Determinanten.- 175. Weitere Unveränderlichkeitseigenschaften.- 176. Unterdeterminanten; Entwickelung nach denselben.- 177. Differentialquotienten einer Determinante, Entwickelung nach ihnen.- 178. Beispiele von Entwickelungen von Determinanten, Regeln zur Erleichterung der Entwickelung.- 179. Multiplicationstheorern für Determinanten.- b) Theorie der linearen Gleichungen..- 180. Bedingung für die Existenz eines Systems homogener Gleichungen.- 181. Bedingung für die Existenz nicht homogener Gleichungen.- 182. Auflösung linearer Gleichungen.- 183. Allgemeine Reduction einer Determinante.- 184. Schema für die Ausrechnung (Reduction) linearer Gleichungen.- 185. Die Werte der Unbekannten, zwei Formen.- 186. Verringerung der Operationen für symmetrische Gleichungen.- XII. Bedingte zusammengesetzte Messungen..- Fortsetzung der Fehlerrechnung..- 187a. Mittlerer Fehler der zusammengesetzten Grösse. Bildung der diese ersetzenden function.- 187b. Mittlerer Fehler der zusammengesetzten Grösse. Einführung der Uebertragungsgrössen.- 188. Mittlerer Fehler der zusammengesetzten Grösse. Darstellung der Differential-quotienten und definitive Formel.- 189. Beispiel.- XIII. Zusammengesetzte Messungen mit zum Teil zusammengesetzten Elementen..- c) Ersetzung von Elementen durch andere Elemente..- 190. Art der Abhängigkeit und Berechnung des wahrscheinlichsten Resultats.- 191. Fehlerrechnung für eine Grösse, deren Elemente aus andern beobachteten Elementen zusammengesetzt sind.- 192. Beispiel.- XIV. Kritik zusammengesetzter Messungen..- 193. Beurteilung der Schlussergebnisse, Einführung des zu erwartenden mittlern Fehlers.- 194. Kriterien für das Maass von Sorgfalt, welches den einzelnen Elementen zu widmen ist.- 195. Kriterium für die Wahl des geeignetsten Elementensystems.- 196. Beispiel zur Entscheidung für ein bestimmtes Elementensystem.- 197. Kriterien für die Wahl der Beträge der Elemente.- 198. Beispiel zur Entscheidung über die Beträge der Elemente.- XV. Zusammenstellung der Ergebnisse..- 199. Unbedingte zusammengesetzte Messungen.- 200. Bedingte zusammengesetzte Messungen.- 201. Zusammengesetzte Messungen, bei denen ein Teil der Elemente selbst zusammengesetzte Grössen sind.- 202. Kritik der Messungen und Resultate, Information über die zu wäblende Messungsmethode und das zu wählende Elementensystem.- Vierter Abschnitt. Ausgleichung von Untersuchungen..- XVI. Ableitung der Normalgleichungen..- 203. Aufgabe des Physikers bei Untersuchungen.- 204. Festsetzung über die analytische Darstellung der auszugleichenden Be-ziehungen.- 205. Stellung der Aufgabe.- 206. Die allgemeinen Ausgleichungsformeln.- 207. Verhältnis der Ausgleichungsformeln zu den Beobachtungsgleichungen.- 208. Die Ausgleichungsformeln nach dem Gaussischen Fehlergesetz.- 209. Die Ausgleichungsformeln als Consequenz des Princips vom kleinsten mittlern Fehler.- 210. Allgemeine Fehlergleichungen.- 211a. Allgemeine Normalgleichungen.- 211b. Notwendigkeit eines Näherungsverfahrens bei der Behandlung der allgemeinen Normalgleichungen.- 212. Normalgleichungen für lineare Functionen.- 213. Ausgleichung homogener linearer Functionen.- 214. Zurückführung des allgemeinen Falls auf Ausgleichung linearer Functionen in successiver Näherung.- 215. Andere Methoden Ausgleichungen verwickelter Functionen auf die linearer zurückzuführen.- 216. Die praktischen Fehler- und Normalgleichungen.- XVII. Fehlerrechnung..- a) Beobachtete mittlere Fehler und Gewichte der Beobachtungsgleichungen..- 217. Die beobachteten mittlern Fehler und Gewichte der Beobachtungsgleichungen.- b) Ausgeglichene mittlere Fehler und Gewichte der Beobachtungsgleichungen..- 218 a. Der wahre mittlere Fehler.- 218 b. Der wahrscheinlicbste mittlere Fehler.- 218 c. Genäherter Wert für den wahren mittlern Fehler.- 219. Die mittlere Unsicherheit der charakteristischen Fehler.- 220. Uebergang zu den tatsächlichen Verhältnissen. Formeln.- 221. Ableitung einer besondern Formel für die Fehlerquadratsumme.- 222. Wert der Formel [pv2] = lh+1, h zur summarischen Controle der numerischen Rechnungen.- c) Fehlerrechnung für die ausgeglichenen Grössen..- 223. Die Fehler der Coefficienten als kritisches Hilfsmittel.- 224. Vereinfachung des Problems. Notwendigkeit der Rechnung durch Nähe-rungen.- 225. Entwickelte Formeln für die mittlern Fehler der Coefficienten.- 226. Erste Entwickelung der mittlern Fehler der Coefficienten.- 227. Zweite Entwickelung, Darstellung durch die coordinirten Coefficienten.- 228. Dritte Entwickelung, explicite Formeln.- 229. Vierte Methode, Berechnung aus den AequivalentGrössen. Die mittlern Fehler und Gewichte der AequivalentGrössen.- 230. Fünfte Methode, Ableitung aus der Präcision. Die Normalgleichungen geben die wahrscheinlichsten Coefficienten.- d) Die charakteristischen Fehler von Functionen ausgeglichener Grössen..- 231. Frage nach den mittlern Fehlern von Functionen der Coefficienten.- 232. Darstellung durch die coordinirten Coefficienten.- 233. Entwickelung allgemeiner Formeln.- 234. Berechnung aus den AequivalentGrössen.- 235. Benutzung der vorstehenden Formeln bei Transformationen.- e) Die Fehler des Endresultats..- 236. Endresultat einer Ausgleichung.- XVIII. Untersuchungen mit Nebenbedingungen..- 237. Untersuchungen mit Nebenbedingungen. Stellmg des Problems.- 238. Directe Lösung durch Elimination der überschüssigen Coefficienten.- 239. Ausgleichung nach Bessel. a) Grundlagen.- 239 b. Die Normalgleichungen.- 239 c. Fehler der Beobachtungsgleichungen, Controlformel.- 239 d. Die Fehler der Coefficienten und von Functionen der Coefficienten.- 240. Methode von Hansen und Andrä, Ausgleichung durch die AequivalentGrössen.- XIX. Ausgleichung von einander abhängiger Beobachtungen..- 241. Unabhängige Beobachtungen und abhängige Beobachtungen.- 242. Fälle abhängiger Beobachtungen. Differenz- oder Nullpunktsbeobachtungen. Beispiele.- 243. Zwei Annahmen, um die Yerbindung zwischen Beobachtungsgleichungen zu lösen.- 244a. Normalgleichungen für verbundene Beobachtungsgleichungen. Erste Lösung.- 244b. Zweite Auflösung.- 245. Streng zu erfüllende verbundene Gleichungen.- 246 a.-b. Beispiel für die Ausgleichung verbundener Beobachtungsgleichungen.- XX. Ueber die Form, die man den Beobachtungsgleichungen zu geben hat..- 247. Mit den Beobachtungsgleichungen dürfen vor ihrer Ausgleichung keinerlei Operationen vorgenommen werden, die ihre Gewichte beeinflussen.- 248. Wenn die Gleichungen abgeändert werden, müssen auch ihre Gewichte geändert werden, indessen wird das Resultat unsicherer.- 249. Beispiel 1.- 250. Beispiel 2.- 251. Form der auszugleichenden Beobachtungsgleichungen bei praktischen Rechnungen; Beispiel.- 252. Ausgleichen von Beobachtungsgleiehungen, die nach der darzustellenden Grösse entwickelt sind.- 253. Aufstellung der Beobachtungsgleichungen nach theoretischen Gesichts-punkten.- XXI. Ueber die Bestimmung der Gewichte der Beobachtungsgleichungen..- 254. Berechnung der Gewichte aus den mittlern Fehlern der beobachteten Elemente.- 255. Befreiung von systematischen Verfälschungen, Ausgleichung der beobachteten mittlern Fehler der Gleichungen in sich zur Ableitung genauerer Gewichte.- 256. Beispiel 1.- 257. Beispiel 2.- 258. Mittlere Unsicherheit der berechneten Gewichte.- 259. Wann die Gewichte noch aus den mittlern Fehlern der Elemente berechnet werden dürfen.- 260. Zuziehung anderweitig ausgeführter Untersuchungen zur Ableitung der mittlern Fehler.- 261. Ableitung der Gewichte aus den Messungsanzahlen.- 262. Beobachtungsgleichungen zu Mittelgleichungen zu vereinigen, ist im All-gemeinen nicht zu empfehlen.- XXII. Verallgemeinerung und Zusammenfassung der Ergebnisse; Rechenschemata..- a) Verallgemeinerung der Bedeutung der Entwickelungen..- 263. Die Entwickelungen gelten für irgend welche Formen der Beobachtungsgleiehungen.- 264. Die Entwickelungen sind unabhängig davon, ob die Form der Beobachtungsgleiehungen bestimmt oder hypothetisch ist.- b) Beobachtungsgleiehungen und Fehlergleichungen..- 265..- c) Die Gewichte..- 266..- d) Die Näherungsrechnungen..- 267..- e) Rechenschema für unabhängige und unbedingte Untersuchungen..- 268. Bildung der Normalgleichungen.- 269. Reduction der Normalgleichungen.- 270. Regeln für die Ausführung der Ausgleichung.- 271. Rechenschema für die Ausgleichung.- 272. Controlformel.- f1) Berücksichtigung von Bedingungsgleichungen zwischen den gesuchten Grössen..- 273. Die Normalgleichungen.- 274. Die Reduction.- f2) Beobachtete Grossen haben Bedingungsgleichungen, in welchen noch un-bekannte Grössen enthalten sind, streng zu erfüllen (Erweiterung zu Art. 200)..- 275..- g) Ausgleichung abhängiger Beobachtungen..- 276..- XXIII. Kritik von Untersuchungen..- 277. Kritische Arbeiten vor der Ausgleichung.- 278. Systematische Fehler in den einzelnen Beobachtungsgleichungen.- 279 a. Systematische Verfälschungen der Beobachtungsgleichungen gegen einander. Notwendigkeit von Nebenuntersuchungen.- 279b. Beispiel.- 279 c. Aufhebung der systematischen Verfälschung durch Deutung der durch die Beobachtungsgleichungen erlangten Resultate.- 279 d. Fortführung des Beispiels.- 280. Die Trennung der einzelnen Verfälschungen von einander.- 281. Anordnung der Fehlerreihe nach den vermutlichen Ursachen der systematischen Verfälschungen.- 282. Einführung von Correctionsgliedern zur Berücksichtigung der systematischen Fehler bei den Messungen einzelner Elemente.- 283. Correctionsglieder für systematische Verfälschung der Beträge der Elemente.- 284. Beispiel.- 285. Correctionsglieder wegen allgemeiner systematischer Verfälschung der Beobachtungsgleichungen.- 286. Fälle, in denen systematische Verfälschungen sich nicht durch Correctionsglieder aufheben lassen.- 287. Systematische Verfälschung durch die analytische Form der Beobachtungsgleichungen.- 288. Kritik der Resultate einer Untersuchung.- Fünfter Abschnitt. Interpolation, Differentiation und Quadratur..- XXIV. Interpolation..- 289. Aufgabe.- 290. Graphische Interpolation.- 291. Analytische Interpolation.- 291 a. Darstellung durch algebraische Functionen. Lagrange'sche Interpolationsformel.- 291b. Darstellung durch periodisehe Reihen.- 291c. Die Gaussischen Interpolationsformeln.- 291d. Ausgleichung durch periodische Reihen.- 291 e. Beispiel. Schema für die Berechnung des täglichen Ganges einer Erscheinung aus den 24 Stundenbeobachtungen.- 292. Numerische Interpolation.- 292 a. Interpolationsformel mit Diagonaldifferenzen.- 292 b. Interpolationsformeln mit Zeilen-Differenzen.- 292 c. Extrapolation.- 292 d. Interpolation für mehrere Argumente.- XXV. Differentiation und Integration..- a) Differentiation..- 293. Graphische Differentiation.- 294. Analytische Differentiation.- 295. Numerische Differentiation.- b) Integration..- 296. Graphisches Integriren. (Mechanische Quadratur.).- 297. Analytische Integration.- 297 a. Integration durch die Lagrangesche Interpolationsformel.- 297 b. Die Newton-Cotesschen Integralformeln.- 297 c. Die Gaussischen Integralformeln.- 297 d. Mehrfache Integration durch die Lagrangesche Interpolationsformel.- 297 e. Integration nach mehreren Variabeln.- 297 f. Integration durch periodische Reihen.- 298. Numerische Integration, allgemeine Formel.- 298 a. Besondere Formeln für einfache Integration.- 298 b. Integration von Argument zu Argument.- 298 c. Integration von Intervallmitte zu Intervallmitte.- 298 d. Zweifache Integration.