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Diplomarbeit aus dem Jahr 1998 im Fachbereich Mathematik - Angewandte Mathematik, Note: 1,3, Karlsruher Institut für Technologie (KIT) (Mathematik, Angewandte Mathematik), Sprache: Deutsch, Abstract: Inhaltsangabe:Zusammenfassung:
Die vorliegende Arbeit beschäftigt sich mit zwei thematischen Schwerpunkten. Der eine Schwerpunkt sind numerische, verifizierende Verfahren. Darunter werden Algorithmen und Methoden verstanden, die mathematische Aufgaben mittels Computer numerisch (also nicht symbolisch) lösen und hierbei Lösungseinschließungen liefern im Gegensatz zu den herkömmlichen computerbasierten Verfahren, die gerundete Ergebnisse liefern, die weit von der echten Lösung entfernt liegen. Den zweite Schwerpunkt bilden die graphischen Benutzerschnittstellen, die es ermöglichen mathematische Probleme zu visualisieren. Als Basis der Implementierungen im Rahmen dieser Arbeit wurde das Oberon-XSC System verwendet, da es beide Aspekte sehr gut miteinander vereint.
Die Arbeit beginnt mit einer Einführung in die mathematischen Grundlagen der Rechnerarithmetik und Intervallrechnung und einer Einführung in Oberon. Daran anschließend werden zwei Beispiele für Visualisierungsprobleme geben. Zum einen ein Programm zur Darstellung eindimensionaler reeller Funktionen sowie gleichzeitig deren Ableitungen bzw. Taylorkurven. Dies werden dabei automatisch über verifizierende Verfahren aus dem Funktionsausdruck berechnet. Zum anderen wird eine Fadenpendel-Simulation vorgestellt, für deren Simluation ein System zweier Differentialgleichungen erster Ordnung durch ein Runge-Kutta-Verfahren der Ordnung 4 gelöst werden muss. Im dritten Kapitel werden verschiedene numerische Verfahren detailliert vorgestellt und implementiert. Im speziellen sind das die Methoden der automatischen Differentiation und darauf aufbauen Algorithmen zur globalen Optimierung eindimensionaler reeller Funktionen.
Inhaltsverzeichnis:Inhaltsverzeichnis:
1.Grundlagen1
1.1Kurze Einführung in die Rechnerarithmetik1
1.1.1Die Räume der Rechnerarithmetik1
1.1.2Definition der Rechnerarithmetik3
1.2Einführung in die Intervallrechnung5
1.2.1Definition und Eigenschaften der Intervallarithmetik6
1.2.2Maschinenintervalle8
1.2.3Erweiterte Intervallarithmetik9
1.3Einführung in Oberon11
1.3.1Die Programmiersprache Oberon11
1.3.2Das Oberon-System15
1.3.3Programmierung von Objekten und Gadgets18
2.Visualisierung21
2.1Der Function Viewer21
2.1.1Gundlegende Module22
2.1.2Module zur Eingabe eindimensionaler Funktionen25
2.1.3Module zur direkten Implementierung des FunctionViewer31
2.2Eine Pendelsimulation42
2.2.1Iteratoren43
2.2.2Listenverwaltung49
2.2.3Die Pendelsimulation57
2.3Benutzeroberflächen59
2.3.1Benutzeroberfläche zum FunctionViewer59
2.3.2Benutzeroberfläche für die Pendelsimulation60
2.4Zusammenfassung61
3.Numerische Verfahren62
3.1Automatische Differentiation62
3.1.1Motivation62
3.1.2Die Taylorarithmetik63
3.1.3Algorithmische Beschreibung der Taylorarithmetik69
3.1.4Implementierung72
3.2Globale Optimierung74
3.2.1Problemstellung74
3.2.2Testmethoden75
3.2.3Teilungsmethoden79
3.2.4Verifikation80
3.2.5Algorithmische Beschreibung80
3.2.6Implementierung87
3.2.7Graphische Benutzerschnittstelle89
A.Bedienung des Oberon-Systems90
B.OBERON-XSC92
C.Hilfsmodule97
D.Testfunktionen99
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Die vorliegende Arbeit beschäftigt sich mit zwei thematischen Schwerpunkten. Der eine Schwerpunkt sind numerische, verifizierende Verfahren. Darunter werden Algorithmen und Methoden verstanden, die mathematische Aufgaben mittels Computer numerisch (also nicht symbolisch) lösen und hierbei Lösungseinschließungen liefern im Gegensatz zu den herkömmlichen computerbasierten Verfahren, die gerundete Ergebnisse liefern, die weit von der echten Lösung entfernt liegen. Den zweite Schwerpunkt bilden die graphischen Benutzerschnittstellen, die es ermöglichen mathematische Probleme zu visualisieren. Als Basis der Implementierungen im Rahmen dieser Arbeit wurde das Oberon-XSC System verwendet, da es beide Aspekte sehr gut miteinander vereint.
Die Arbeit beginnt mit einer Einführung in die mathematischen Grundlagen der Rechnerarithmetik und Intervallrechnung und einer Einführung in Oberon. Daran anschließend werden zwei Beispiele für Visualisierungsprobleme geben. Zum einen ein Programm zur Darstellung eindimensionaler reeller Funktionen sowie gleichzeitig deren Ableitungen bzw. Taylorkurven. Dies werden dabei automatisch über verifizierende Verfahren aus dem Funktionsausdruck berechnet. Zum anderen wird eine Fadenpendel-Simulation vorgestellt, für deren Simluation ein System zweier Differentialgleichungen erster Ordnung durch ein Runge-Kutta-Verfahren der Ordnung 4 gelöst werden muss. Im dritten Kapitel werden verschiedene numerische Verfahren detailliert vorgestellt und implementiert. Im speziellen sind das die Methoden der automatischen Differentiation und darauf aufbauen Algorithmen zur globalen Optimierung eindimensionaler reeller Funktionen.
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1.2.1Definition und Eigenschaften der Intervallarithmetik6
1.2.2Maschinenintervalle8
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2.4Zusammenfassung61
3.Numerische Verfahren62
3.1Automatische Differentiation62
3.1.1Motivation62
3.1.2Die Taylorarithmetik63
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3.2Globale Optimierung74
3.2.1Problemstellung74
3.2.2Testmethoden75
3.2.3Teilungsmethoden79
3.2.4Verifikation80
3.2.5Algorithmische Beschreibung80
3.2.6Implementierung87
3.2.7Graphische Benutzerschnittstelle89
A.Bedienung des Oberon-Systems90
B.OBERON-XSC92
C.Hilfsmodule97
D.Testfunktionen99
Hinweis: Dieser Artikel kann nur an eine deutsche Lieferadresse ausgeliefert werden.