Dieses Buch verfolgt verschiedene, eng miteinander verbundene Ziele. In erster Linie mochte es Schiilern, Lehrern und Studierenden der Mathematik dienlich sein als Einfiihrnngin einen wichtigen, aher meist vernachlassigten Aspekt der Mathematik. Doch ist das Buch in gewissem Sinn auch eine philosophische Abhandlung. Ebenso ist es eine Fortsetzung friiherer Arbeiten und verlangt selbst eine Fortsetzung. Ich werde auf diese Punkte der Reihe nach zu sprechen kommen. 1. Streng genommen besteht unser ganzes Wissen auIlerhalb der Mathematik und der demonstrativen Logik (die ja in der Tat ein Zweig…mehr
Dieses Buch verfolgt verschiedene, eng miteinander verbundene Ziele. In erster Linie mochte es Schiilern, Lehrern und Studierenden der Mathematik dienlich sein als Einfiihrnngin einen wichtigen, aher meist vernachlassigten Aspekt der Mathematik. Doch ist das Buch in gewissem Sinn auch eine philosophische Abhandlung. Ebenso ist es eine Fortsetzung friiherer Arbeiten und verlangt selbst eine Fortsetzung. Ich werde auf diese Punkte der Reihe nach zu sprechen kommen. 1. Streng genommen besteht unser ganzes Wissen auIlerhalb der Mathematik und der demonstrativen Logik (die ja in der Tat ein Zweig der Mathematik ist) aus Vermutungen. Es gibt natiirlich Ver mutungen und Vermutungen. Es gibt hOchst respektable und zu verlassige Vermutungen wie die in gewissen allgemeinen Gesetzen der Naturwissenschaften niedergelegten. Es giht andere Vermutungen, die weder respektabel noch zuverlassig sind, und die einen zuweilen argern konnen, wenn man sie in der Zeitung Hest. Und zwischen diesen beiden Extremen stehen alle moglichen Arten und Schattierungen von Ver muten, instinktivem Vorausfiihlen und Erraten. Wir sichern die Giiltigkeit unseres mathematischen Wissens durch demonstratives SchliefJen, aber wir stiitzen unsere Vermutungen durch plausibles SchliefJen. Ein mathematischer Beweis besteht aus demon strativem SchlieIlen, aber der Induktionsbeweis des Physikers, der Indizienbeweis des Juristen, der dokumentarische Beweis des Ristori kers, der statistische Beweis des Nationalokonomen gehoren zum plausiblen SchlieIlen. Der Unterschied zwischen den heiden SchluIlweisen ist groIl und mannigfaltig. Demonstratives SchlieBen ist sicher, unbestreitbar und endgiiltig. Plausibles Schlie!3en ist gewagt, strittig und provisorisch.
I. Induktion.- 1. Erfahrung und Ansichten.- 2. Suggestive Beobachtungen.- 3. Stützende Beobachtungen.- 4. Die induktive Einstellung.- Aufgaben und Bemerkungen zu Kapitel I, 1 14. [12. Ja und Nein. 13. Erfahrung und Verhalten. 14. Der Logiker, der Mathematiker, der Physiker und der Ingenieur.].- II. Verallgemeinerung, Spezialisierung, Analogie.- 1. Verallgemeinerung, Spezialisierung, Analogie und Induktion.- 2. Verallgemeinerung.- 3. Spezialisierung.- 4. Analogie.- 5. Verallgemeinerung, Spezialisierung und Analogie.- 6. Entdeckung durch Analogie.- 7. Analogie und Induktion.- Aufgaben und Bemerkungen zu Kapitel II, 1 46; [Erster Teil, 1 20; Zweiter Teil, 21 46]. [1. Die richtige Verallgemeinerung. 5. Ein extremer Spezialfall. 7. Ein führender Spezialfall. 10. Ein repräsentativer Spezialfall. 11. Ein analoger Fall. 18. Große Analogien. 19. Geklärte Analogien. 20. Zitate. 21. Die Vermutung E. 44. Ein Einwand und ein erster Zugang zu einem Beweis. 45. Ein zweiter Zugang zu einem Beweis. 46. Gefahren der Analogie.].- III. Induktion in der Geometrie des Raumes.- 1. Polyeder.- 2. Erste stützende Beobachtungen.- 3. Weitere stützende Beobachtungen.- 4. Eine strenge Probe.- 5. Es gibt Verifikationen und Verifikationen.- 6. Ein ganz anderer Fall.- 7. Analogie.- 8. Raumteilungen.- 9. Modifizierung der Aufgabe.- 10. Verallgemeinerung, Spezialisierung, Analogie.- 11. Eine weitere analoge Aufgabe.- 12. Zusammenstellung von analogen Aufgaben.- 13. Viele Aufgaben sind manchmal leichter als nur eine.- 14. Eine Vermutung.- 15. Voraussage und Verifikation.- 16. Noch einmal und besser.- 17. Induktion legt Deduktion, der Spezialfall den allgemeinen Beweis nahe.- 18. Weitere Vermutungen.- Aufgaben und Bemerkungen zu Kapitel III, 1 41. [21. Induktion: Anpassung der Gedanken, Anpassung der Sprache. 31. Descartes Untersuchung über Polyeder. 36. Supplementäre Raumwinkel, supplementäre sphärische Polygone.].- IV. Induktion in der Zahlentheorie.- 1. Pythagoreische Dreiecke.- 2. Quadratsummen.- 3. Über die Summe von vier ungeraden Quadratzahlen.- 4. Untersuchung eines Beispiels.- 5. Tabellarisierung der Beobachtungen.- 6. Wie lautet die Regel?.- 7. Von der Natur induktiver Entdeckung.- 8. Von der Natur induktiver Beweisgründe.- Aufgaben und Bemerkungen zu Kapitel IV., 1 26. [1. Bezeichnung 26. Gefahren der Induktion].- V. Diverse Induktionsbeispiele.- 1. Reihenentwicklung.- 2. Annäherung.- 3. Grenzwerte.- 4. Wir versuchen zu widerlegen.- 5. Wir versuchen zu beweisen.- 6. Die Rolle der induktiven Phase.- Aufgaben und Bemerkungen zu Kapitel V, 1 18. [15. Man erkläre die beobachteten Regelmäßigkeiten. 16. Man klassifiziere die beobachteten Tatsachen. 18. Worauf beruht die Unterscheidung?].- VI. Eine allgemeinere Formulierung.- 1. Euler.- 2. Eulers Schrift.- 3. Übergang zu einem allgemeineren Gesichtspunkt.- 4. Schematischer Umriß von Eulers Schrift.- Aufgaben und Bemerkungen zu Kapitel VI, 1 25. [1. Erzeugende Funktionen. 7. Eine kombinatorische Aufgabe in der Geometrie der Ebene. 10. Quadratsummen. 19. Noch eine Rekursionsformel. 20. Noch ein ganz außergewöhnliches Gesetz der ganzen Zahlen betreffend die Summe ihrer Teiler. 24. Wie Euler eine Entdeckung entging. 25. Eine Verallgemeinerung des Eulerschen Satzes über ?(n).].- VII. Vollständige Induktion.- 1. Die induktive Phase.- 2. Die beweisende Phase.- 3. Untersuchung von Übergängen.- 4. Die Technik der vollständigen Induktion.- Aufgaben und Bemerkungen zu Kapitel VII, 1-18. [12. Manchmal ist es weniger Mühe, mehr zu beweisen. 14. Man soll den Satz ausbalancieren. 15. Ausblick. 17. Sind n beliebige Zahlen gleich?].- VIII. Maxima und Minima.- 1. Lösungsschemata.- 2. Beispiel.- 3. Das Schema der berührenden Niveaulinie.- 4. Beispiele.- 5. Das Schema der partiellen Variation.- 6. Der Satz von dem arithmetischen und geometrischen Mittel und seine ersten Konsequenzen.- Aufgaben und Bemerkungen zu Kapitel VIII, 1 63; [Erster Teil, 1 32; Zweiter Teil, 33 63.]. [1. Entfernungsminima und
I. Induktion.- 1. Erfahrung und Ansichten.- 2. Suggestive Beobachtungen.- 3. Stützende Beobachtungen.- 4. Die induktive Einstellung.- Aufgaben und Bemerkungen zu Kapitel I, 1 14. [12. Ja und Nein. 13. Erfahrung und Verhalten. 14. Der Logiker, der Mathematiker, der Physiker und der Ingenieur.].- II. Verallgemeinerung, Spezialisierung, Analogie.- 1. Verallgemeinerung, Spezialisierung, Analogie und Induktion.- 2. Verallgemeinerung.- 3. Spezialisierung.- 4. Analogie.- 5. Verallgemeinerung, Spezialisierung und Analogie.- 6. Entdeckung durch Analogie.- 7. Analogie und Induktion.- Aufgaben und Bemerkungen zu Kapitel II, 1 46; [Erster Teil, 1 20; Zweiter Teil, 21 46]. [1. Die richtige Verallgemeinerung. 5. Ein extremer Spezialfall. 7. Ein führender Spezialfall. 10. Ein repräsentativer Spezialfall. 11. Ein analoger Fall. 18. Große Analogien. 19. Geklärte Analogien. 20. Zitate. 21. Die Vermutung E. 44. Ein Einwand und ein erster Zugang zu einem Beweis. 45. Ein zweiter Zugang zu einem Beweis. 46. Gefahren der Analogie.].- III. Induktion in der Geometrie des Raumes.- 1. Polyeder.- 2. Erste stützende Beobachtungen.- 3. Weitere stützende Beobachtungen.- 4. Eine strenge Probe.- 5. Es gibt Verifikationen und Verifikationen.- 6. Ein ganz anderer Fall.- 7. Analogie.- 8. Raumteilungen.- 9. Modifizierung der Aufgabe.- 10. Verallgemeinerung, Spezialisierung, Analogie.- 11. Eine weitere analoge Aufgabe.- 12. Zusammenstellung von analogen Aufgaben.- 13. Viele Aufgaben sind manchmal leichter als nur eine.- 14. Eine Vermutung.- 15. Voraussage und Verifikation.- 16. Noch einmal und besser.- 17. Induktion legt Deduktion, der Spezialfall den allgemeinen Beweis nahe.- 18. Weitere Vermutungen.- Aufgaben und Bemerkungen zu Kapitel III, 1 41. [21. Induktion: Anpassung der Gedanken, Anpassung der Sprache. 31. Descartes Untersuchung über Polyeder. 36. Supplementäre Raumwinkel, supplementäre sphärische Polygone.].- IV. Induktion in der Zahlentheorie.- 1. Pythagoreische Dreiecke.- 2. Quadratsummen.- 3. Über die Summe von vier ungeraden Quadratzahlen.- 4. Untersuchung eines Beispiels.- 5. Tabellarisierung der Beobachtungen.- 6. Wie lautet die Regel?.- 7. Von der Natur induktiver Entdeckung.- 8. Von der Natur induktiver Beweisgründe.- Aufgaben und Bemerkungen zu Kapitel IV., 1 26. [1. Bezeichnung 26. Gefahren der Induktion].- V. Diverse Induktionsbeispiele.- 1. Reihenentwicklung.- 2. Annäherung.- 3. Grenzwerte.- 4. Wir versuchen zu widerlegen.- 5. Wir versuchen zu beweisen.- 6. Die Rolle der induktiven Phase.- Aufgaben und Bemerkungen zu Kapitel V, 1 18. [15. Man erkläre die beobachteten Regelmäßigkeiten. 16. Man klassifiziere die beobachteten Tatsachen. 18. Worauf beruht die Unterscheidung?].- VI. Eine allgemeinere Formulierung.- 1. Euler.- 2. Eulers Schrift.- 3. Übergang zu einem allgemeineren Gesichtspunkt.- 4. Schematischer Umriß von Eulers Schrift.- Aufgaben und Bemerkungen zu Kapitel VI, 1 25. [1. Erzeugende Funktionen. 7. Eine kombinatorische Aufgabe in der Geometrie der Ebene. 10. Quadratsummen. 19. Noch eine Rekursionsformel. 20. Noch ein ganz außergewöhnliches Gesetz der ganzen Zahlen betreffend die Summe ihrer Teiler. 24. Wie Euler eine Entdeckung entging. 25. Eine Verallgemeinerung des Eulerschen Satzes über ?(n).].- VII. Vollständige Induktion.- 1. Die induktive Phase.- 2. Die beweisende Phase.- 3. Untersuchung von Übergängen.- 4. Die Technik der vollständigen Induktion.- Aufgaben und Bemerkungen zu Kapitel VII, 1-18. [12. Manchmal ist es weniger Mühe, mehr zu beweisen. 14. Man soll den Satz ausbalancieren. 15. Ausblick. 17. Sind n beliebige Zahlen gleich?].- VIII. Maxima und Minima.- 1. Lösungsschemata.- 2. Beispiel.- 3. Das Schema der berührenden Niveaulinie.- 4. Beispiele.- 5. Das Schema der partiellen Variation.- 6. Der Satz von dem arithmetischen und geometrischen Mittel und seine ersten Konsequenzen.- Aufgaben und Bemerkungen zu Kapitel VIII, 1 63; [Erster Teil, 1 32; Zweiter Teil, 33 63.]. [1. Entfernungsminima und
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