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Visto que em muitas aplicações da Teoria Espectral de Grafos somente o índice (maior autovalor) é relevante, buscamos neste trabalho famílias de grafos que tenham um índice inteiro, pois já são conhecidas cotas não espectrais para este valor, as quais são atingidas somente no caso de o índice ser inteiro. Estudamos especificamente algumas famílias de Árvores e grafos Aranha, então geramos infinitos grafos com índice inteiro. O estudo foi baseado em teorias da Álgebra Linear. Também introduzimos e estudamos uma nova classe de grafos, obtendo também aqueles com índice inteiro.