Das Buch ist eine kompakte, leicht lesbare Einführung in die Maß- und Integrationstheorie samt Wahrscheinlichkeitstheorie, in der auch auf den für das Verständnis wichtigen Bezug zur klassischen Analysis, etwa in Abschnitten über Funktionen von beschränkter Variation oder dem Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung eingegangen wird. Trotz seines verhältnismäßig geringen Umfangs behandelt es alle wesentlichen Themen dieser Fachgebiete, wie Mengensysteme, Mengenfunktionen Maßfortsetzung, Unabhängigkeit, Lebesgue-Stieltjes-Maße, Verteilungsfunktionen, messbare Funktionen,…mehr
Das Buch ist eine kompakte, leicht lesbare Einführung in die Maß- und Integrationstheorie samt Wahrscheinlichkeitstheorie, in der auch auf den für das Verständnis wichtigen Bezug zur klassischen Analysis, etwa in Abschnitten über Funktionen von beschränkter Variation oder dem Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung eingegangen wird. Trotz seines verhältnismäßig geringen Umfangs behandelt es alle wesentlichen Themen dieser Fachgebiete, wie Mengensysteme, Mengenfunktionen Maßfortsetzung, Unabhängigkeit, Lebesgue-Stieltjes-Maße, Verteilungsfunktionen, messbare Funktionen, Zufallsvariable, Integral, Erwartungswert, Konvergenzsätze, Transformationssätze, Produkträume, Satz von Fubini, Zerlegungssätze, Funktionen von beschränkter Variation, Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung, Lp-Räume, Bedingte Erwartungen, Gesetze der großen Zahlen, Ergodensätze, Martingale, Verteilungskonvergenz, charakteristische Funktionen und die Grenzverteilungssätze von Lindeberg und Feller
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Autorenporträt
Norbert Kusolitsch ist Assistenzprofessor am Institut für Statistik und Wahrscheinlichkeitstheorie an der Technischen Universität Wien, Österreich.
Inhaltsangabe
1 Einführung 1.1 Ein Beispiel 2 Mengen und Mengensysteme 2.1 Elementare Mengenlehre 2.2 Algebren und _-Algebren 2.3 Semiringe, Ringe und _-Ringe 2.4 Erzeugte Systeme 2.5 Monotone Systeme und Dynkin-Systeme 3 Mengenfunktionen 3.1 Inhalte und Maße auf Semiringen 3.2 Die Fortsetzung von Inhalten und Maßen auf Ringe 3.3 Eigenschaften von Inhalten und Maßen 3.4 Additionstheorem und verwandte Sätze 4 Fortsetzung von Maßen auf _ Algebren 4.1 Äußere Maße und Carathéodory-Messbarkeit 4.2 Fortsetzungs- und Eindeutigkeitssatz 4.3 Vervollständigung 5 Unabhängigkeit 5.1 Die durch ein Ereignis bedingte Wahrscheinlichkeit 5.2 Unabhängigkeit von Ereignissystemen 6 Lebesgue-Stieltjes-Maße 6.1 Definition und Regularität 6.2 Verteilungsfunktionen auf R 6.3 Das Lebesgue-Maß auf R 6.4 Diskrete und stetige Verteilungsfunktionen 6.5 Wahrscheinlichkeitsverteilungen auf R 6.6 Verteilungsfunktionen auf Rk 6.7 Wahrscheinlichkeitsverteilungen auf (Rk;Bk) 6.8 Das k-dimensionale Lebesgue-Maß 7 Messbare Funktionen - Zufallsvariable 7.1 Definition und Eigenschaften 7.2 Erweitert reellwertige Funktionen 7.3 Treppenfunktionen 7.4 Baire-Funktionen 7.5 Subsigmaalgebren 7.6 Unabhängige Zufallsvariable 7.7 Verallgemeinertes Null-Eins-Gesetz von Kolmogoroff 7.8 Cantor-Menge und nichtmessbare Mengen 7.9 Konvergenzarten 8 Die Verteilung einer Zufallsvariablen 8.1 Das induzierte Maß 8.2 Gemeinsame Verteilung und Randverteilungen 8.3 Die inverse Verteilungsfunktion 8.4 Maßtreue Abbildungen 9 Das Integral - Der Erwartungswert 9.1 Definition des Integrals 9.2 Konvergenzsätze 9.3 Das unbestimmte Integral 9.4 Zusammenhang zwischen Riemann- und Lebesgues-Integral 9.5 Das Integral transformierter Funktionen 10 Produkträume 10.1 Die Produktsigmaalgebra 10.2 Der Satz von Fubini 10.3 Maße auf unendlich-dimensionalen Produkträumen 10.4 Null-Eins-Gesetz von Hewitt- Savage 10.5 Stetige Zufallsvariable 10.6 Die Faltung 11 Zerlegung und Integraldarstellung signierter Maße 11.1 Die Hahn-Jordan-Zerlegung 11.2 Die Lebesgue-Zerlegung 11.3 Der Satz von Radon-Nikodym 12 Integral und Ableitung 12.1 Funktionen von beschränkter Variation 12.2 Absolut stetige Funktionen 12.3 Der Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung 13 Lp - Räume 13.1 Integralungleichungen 13.2 Vollständigkeit der Lp-Räume 13.3 Gleichmäßige Integrierbarkeit 13.4 Der Dualraum zu Lp(;S; _) 14 Bedingte Erwartungen 14.1 Der Satz von der vollständigen Erwartung 14.2 Die durch eine _-Algebra bedingte Erwartung 14.3 Reguläre, bedingte Wahrscheinlichkeiten 15 Gesetze der großen Zahlen 15.1 Die Varianz und andere Momente 15.2 Schwache Gesetze der großen Zahlen 15.3 Starke Gesetze der großen Zahlen 15.4 Ergodensätze 16 Martingale 16.1 Definition und grundlegende Eigenschaften 16.2 Transformation von Submartingalen 16.3 Konvergenzsätze für Submartingale 17 Verteilungskonvergenz und Grenzwertsätze 17.1 Schwache Konvergenz 17.2 Der klassische zentrale Grenzverteilungssatz 17.3 Schwache Kompaktheit 17.4 Charakteristische Funktionen 17.5 Der Grenzverteilungssatz von Lindeberg-Feller A Anhang A.1 Das Diagonalisierungsverfahren A.2 Das Auswahlaxiom A.3 Reihen A.4 Topologie A.5 Analysis A.6 Konvexe Mengen und Funktionen A.7 Eindeutigkeit der Exponentialfunktion A.8 Trigonometrie A.9 Komplexe Analysis A.10 Funktionalanalysis A.11 Drehung Literaturverzeichnis Stichwortverzeichnis
1 Einführung 1.1 Ein Beispiel 2 Mengen und Mengensysteme 2.1 Elementare Mengenlehre 2.2 Algebren und _-Algebren 2.3 Semiringe, Ringe und _-Ringe 2.4 Erzeugte Systeme 2.5 Monotone Systeme und Dynkin-Systeme 3 Mengenfunktionen 3.1 Inhalte und Maße auf Semiringen 3.2 Die Fortsetzung von Inhalten und Maßen auf Ringe 3.3 Eigenschaften von Inhalten und Maßen 3.4 Additionstheorem und verwandte Sätze 4 Fortsetzung von Maßen auf _ Algebren 4.1 Äußere Maße und Carathéodory-Messbarkeit 4.2 Fortsetzungs- und Eindeutigkeitssatz 4.3 Vervollständigung 5 Unabhängigkeit 5.1 Die durch ein Ereignis bedingte Wahrscheinlichkeit 5.2 Unabhängigkeit von Ereignissystemen 6 Lebesgue-Stieltjes-Maße 6.1 Definition und Regularität 6.2 Verteilungsfunktionen auf R 6.3 Das Lebesgue-Maß auf R 6.4 Diskrete und stetige Verteilungsfunktionen 6.5 Wahrscheinlichkeitsverteilungen auf R 6.6 Verteilungsfunktionen auf Rk 6.7 Wahrscheinlichkeitsverteilungen auf (Rk;Bk) 6.8 Das k-dimensionale Lebesgue-Maß 7 Messbare Funktionen - Zufallsvariable 7.1 Definition und Eigenschaften 7.2 Erweitert reellwertige Funktionen 7.3 Treppenfunktionen 7.4 Baire-Funktionen 7.5 Subsigmaalgebren 7.6 Unabhängige Zufallsvariable 7.7 Verallgemeinertes Null-Eins-Gesetz von Kolmogoroff 7.8 Cantor-Menge und nichtmessbare Mengen 7.9 Konvergenzarten 8 Die Verteilung einer Zufallsvariablen 8.1 Das induzierte Maß 8.2 Gemeinsame Verteilung und Randverteilungen 8.3 Die inverse Verteilungsfunktion 8.4 Maßtreue Abbildungen 9 Das Integral - Der Erwartungswert 9.1 Definition des Integrals 9.2 Konvergenzsätze 9.3 Das unbestimmte Integral 9.4 Zusammenhang zwischen Riemann- und Lebesgues-Integral 9.5 Das Integral transformierter Funktionen 10 Produkträume 10.1 Die Produktsigmaalgebra 10.2 Der Satz von Fubini 10.3 Maße auf unendlich-dimensionalen Produkträumen 10.4 Null-Eins-Gesetz von Hewitt- Savage 10.5 Stetige Zufallsvariable 10.6 Die Faltung 11 Zerlegung und Integraldarstellung signierter Maße 11.1 Die Hahn-Jordan-Zerlegung 11.2 Die Lebesgue-Zerlegung 11.3 Der Satz von Radon-Nikodym 12 Integral und Ableitung 12.1 Funktionen von beschränkter Variation 12.2 Absolut stetige Funktionen 12.3 Der Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung 13 Lp - Räume 13.1 Integralungleichungen 13.2 Vollständigkeit der Lp-Räume 13.3 Gleichmäßige Integrierbarkeit 13.4 Der Dualraum zu Lp(;S; _) 14 Bedingte Erwartungen 14.1 Der Satz von der vollständigen Erwartung 14.2 Die durch eine _-Algebra bedingte Erwartung 14.3 Reguläre, bedingte Wahrscheinlichkeiten 15 Gesetze der großen Zahlen 15.1 Die Varianz und andere Momente 15.2 Schwache Gesetze der großen Zahlen 15.3 Starke Gesetze der großen Zahlen 15.4 Ergodensätze 16 Martingale 16.1 Definition und grundlegende Eigenschaften 16.2 Transformation von Submartingalen 16.3 Konvergenzsätze für Submartingale 17 Verteilungskonvergenz und Grenzwertsätze 17.1 Schwache Konvergenz 17.2 Der klassische zentrale Grenzverteilungssatz 17.3 Schwache Kompaktheit 17.4 Charakteristische Funktionen 17.5 Der Grenzverteilungssatz von Lindeberg-Feller A Anhang A.1 Das Diagonalisierungsverfahren A.2 Das Auswahlaxiom A.3 Reihen A.4 Topologie A.5 Analysis A.6 Konvexe Mengen und Funktionen A.7 Eindeutigkeit der Exponentialfunktion A.8 Trigonometrie A.9 Komplexe Analysis A.10 Funktionalanalysis A.11 Drehung Literaturverzeichnis Stichwortverzeichnis
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