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Die mathematischen Grundlagen der finiten Element-Methoden gehören heute zum selbstverständlichen Rüstzeug des Angewandten Mathematikers. Da dieses Thema die mathematischen Theorien der Variationsrechnung und partiellen Differentialgleichungen, Probleme der Mathematischen Physik und Lösungsalgorithmen der Numerischen Mathematik miteinander verbindet, eignet es sich besonders gut für ein Mittelseminar für künftige Mathematiker, Mathematiklehrer und Ingenieure. Dieser Text gibt im wesentlichen die Ausarbeitung der Seminarteilnehmer wieder und sollte sich auch für eine einführende Vorlesung und zum Selbststudium eignen.