Jürgen Ulm

Mathematische Methoden der Elektrotechnik

• Broschiertes Buch

Produktbeschreibung

Das Buch bietet eine praxisorientierte Einführung in die mathematischen Methoden der Elektrotechnik. Der Schwerpunkt liegt auf der Lösung von gewöhnlichen und partiellen Differenzialgleichungen mittels analytischer und numerischer Methoden. Dabei werden die analytischen Methoden den numerischen gegenübergestellt. Die Differenzialgleichungen wurden mit Blick auf die Problemstellungen der Elektrotechnik gewählt. Gezeigt wird, wie diese beispielsweise auch auf die Mechanik übertragen werden können.Zahlreiche Beispiele und Aufgaben mit ausgearbeiteten Lösungen erleichtern den Transfer des Wissens in die Anwendungen.

Produktdetails

• Verlag: Expert / UTB
• Seitenzahl: 358
• Erscheinungstermin: 18. Oktober 2021
• Deutsch
• Abmessung: 238mm x 172mm x 27mm
• Gewicht: 667g
• ISBN-13: 9783825257774
• ISBN-10: 3825257770
• Artikelnr.: 62282926

Autorenporträt

Als Entwicklungsingenieur bei Fa. Robert Bosch GmbH in Stuttgart war der Autor in einer Simulationsgruppe mit Simulationen mechatronischer Systeme beschäftigt. Einem Wechsel in die Forschungsabteilung folgte eine Industriepromotion. 2007 kam die Berufung zum Professor an den Studiengang Elektrotechnik der Reinhold-Würth Hochschule, Campus Künzelsau.

Inhaltsangabe

1 Erforderliche mathematische Grundlagen 11.1 Matrizen11.1.1 Rechenoperationen mit Matrizen21.1.2 Addition und Subtraktion zweier Matrizen21.1.3 Multiplikation einer Matrix mit einem Skalar21.1.4 Quadratische Matrix31.1.5 Einheitsmatrix31.1.6 Determinante31.1.7 Unterdeterminante oder Minor51.1.8 Adjunkte oder algebraisches Komplement51.1.9 Inverse Matrix61.1.10 Transponierte einer Matrix71.1.11 Komplex konjugierte Matrix71.1.12 Hermitesche konjugierte Matrix81.1.13 Hermitesche Matrix - selbstadjungierte Matrix91.1.14 Orthogonalmatrix91.1.15 Unit¨ are Matrix101.1.16 Normalmatrix - Normale Matrix111.1.17 Norm einer Matrix111.1.18 Konditionierte Matrizengleichung und Konditionszahl121.1.19 Eigenwert, Eigenvektor131.1.20 Quadratische Matrizen - eine Zusammenfassung151.2 Integral-, Di erenzialgleichungen171.2.1 Definitionen171.2.2 Di erenzierung skalarer Funktionen181.2.3 Gewöhnliche Di erenzialgleichungen höherer Ordnung181.2.4 Partielle Di erenzialgleichungen201.2.5 Partielle Integration221.2.6 Klassifikation von Di erenzialgleichungen221.2.7 Anfangswertaufgabe231.2.8 Randwertaufgabe241.2.9 Lineare Operatoren251.2.10 Inneres Produkt271.2.11 Starke Form/Formulierung einer Di erenzialgleichung301.2.12 Schwache Form/Formulierung einer Di erenzialgleichung301.3 Vektor-Klassifikation311.4 Di erenziationsregeln für Vektoren311.5 Vektoroperatoren321.5.1 Nabla-und Laplace-Operator321.5.2 Vektoroperator Gradient331.5.3 Vektoroperator Divergenz341.5.4 Vektoroperator Rotation351.5.5 Gegenüberstellung der Vektoroperatoren351.5.6 Rechenregeln f¨ ur den Nabla-Operator361.5.7 Gegenüberstellung Skalar- und Vektorprodukt371.6 Maxwell'sche Gleichungen381.6.1 Beziehung zwischen Kreis- und Flächenintegral381.6.2 Beziehung zwischen Flächen- und Volumenintegral391.6.3 Maxwell'sche Gleichungen - Di erenzialform401.6.4 Maxwell'sche Gleichungen - Integralform401.6.5 Richtungszuordnung beteiligter Vektorfelder401.7 Dirac'sche Deltafunktion412 Koordinatensysteme 432.1 Kartesisches Koordinatensystem432.2 Zylinderkoordinatensystem452.3 Kugelkoordinatensystem473 LCR-Parallel- und Reihenschwingkreis 513.1 Schwingkreise, Impedanzen und Resonanzen513.2 Eigenfrequenz - Fehlerrechnung553.3 Spannungsverläufe LCR-Reihenschwingkreis bei Frequenzvariation563.3.1 Spannungsverlauf über der Induktivität573.3.2 Spannungsverlauf über Induktivität und Widerstand593.3.3 Spannungsverlauf über dem Widerstand613.3.4 Spannungsverlauf +ber der Kapazität623.4 Gedämpfter, erzwungener LCR-Reihenschwingkreis643.5 Gedämpfter, freier LCR-Reihenschwingkreis 673.6 Ungedämpfter, freier LC-Schwingkreis693.7 Gedämpfter, erzwungener LCR-Parallelschwingkreis703.8 Gedämpfter, freier LCR-Parallelschwingkreis763.9 Ungedämpfter, freier LC-Schwingkreis794 Stromverdrängung im Leiter 814.1 Stromverdrängung im Leiter - Modellbildung824.2 Stromverdrängung im Leiter - Berechnungsergebnis864.3 Stromverdrängung im Leiter - Simulationsergebnis874.4 Stromverdrängung im Leiter - Zusammenfassung895 Besselgleichung und Besselfunktion 915.1 Zur Person Wilhelm Friedrich Bessel925.2 Besselgleichung des LCR-Parallelschwingkreises935.3 Besselgleichung der Felddi usionsgleichung945.4 Besselfunktion zur Berechnung der Feldverteilung in einem Kondensator 975.4.1 Modellanordnung975.4.2 Herleitung der Besselfunktion985.5 Besselfunktion zur Berechnung der Flussdichteverteilung in einer Spule 1015.5.1 Modellanordnung1015.5.2 Herleitung der Besselfunktion1015.6 Besselfunktion aus allgemeiner Form der Besselgleichung1046 Lösung von Di erenzialgleichungen mittels Green'scher Funktionen 1096.1 Zur Person George Green1096.2 Green'sche Integralsätze1126.3 PDE - Auf-, Integrationspunktanordnungen1146.4 PDE - Vorbereitung zur Lösung nach Green - Di erenzialform1166.5 PDE - Vorbereitung zur Lösung nach Green - Integralform1186.5.1 Umstellen der PDE

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1 Erforderliche mathematische Grundlagen 1 1.1 Matrizen1 1.1.1 Rechenoperationen mit Matrizen2 1.1.2 Addition und Subtraktion zweier Matrizen2 1.1.3 Multiplikation einer Matrix mit einem Skalar2 1.1.4 Quadratische Matrix3 1.1.5 Einheitsmatrix3 1.1.6 Determinante3 1.1.7 Unterdeterminante oder Minor5 1.1.8 Adjunkte oder algebraisches Komplement5 1.1.9 Inverse Matrix6 1.1.10 Transponierte einer Matrix7 1.1.11 Komplex konjugierte Matrix7 1.1.12 Hermitesche konjugierte Matrix8 1.1.13 Hermitesche Matrix – selbstadjungierte Matrix9 1.1.14 Orthogonalmatrix9 1.1.15 Unit¨ are Matrix10 1.1.16 Normalmatrix – Normale Matrix11 1.1.17 Norm einer Matrix11 1.1.18 Konditionierte Matrizengleichung und Konditionszahl12 1.1.19 Eigenwert, Eigenvektor13 1.1.20 Quadratische Matrizen – eine Zusammenfassung15 1.2 Integral-, Di erenzialgleichungen17 1.2.1 Definitionen17 1.2.2 Di erenzierung skalarer Funktionen18 1.2.3 Gewöhnliche Di erenzialgleichungen höherer Ordnung18 1.2.4 Partielle Di erenzialgleichungen20 1.2.5 Partielle Integration22 1.2.6 Klassifikation von Di erenzialgleichungen22 1.2.7 Anfangswertaufgabe23 1.2.8 Randwertaufgabe24 1.2.9 Lineare Operatoren25 1.2.10 Inneres Produkt27 1.2.11 Starke Form/Formulierung einer Di erenzialgleichung30 1.2.12 Schwache Form/Formulierung einer Di erenzialgleichung30 1.3 Vektor-Klassifikation31 1.4 Di erenziationsregeln für Vektoren31 1.5 Vektoroperatoren32 1.5.1 Nabla-und Laplace-Operator32 1.5.2 Vektoroperator Gradient33 1.5.3 Vektoroperator Divergenz34 1.5.4 Vektoroperator Rotation35 1.5.5 Gegenüberstellung der Vektoroperatoren35 1.5.6 Rechenregeln f¨ ur den Nabla-Operator36 1.5.7 Gegenüberstellung Skalar- und Vektorprodukt37 1.6 Maxwell’sche Gleichungen38 1.6.1 Beziehung zwischen Kreis- und Flächenintegral38 1.6.2 Beziehung zwischen Flächen- und Volumenintegral39 1.6.3 Maxwell’sche Gleichungen – Di erenzialform40 1.6.4 Maxwell’sche Gleichungen – Integralform40 1.6.5 Richtungszuordnung beteiligter Vektorfelder40 1.7 Dirac’sche Deltafunktion41 2 Koordinatensysteme 43 2.1 Kartesisches Koordinatensystem43 2.2 Zylinderkoordinatensystem45 2.3 Kugelkoordinatensystem47 3 LCR-Parallel- und Reihenschwingkreis 51 3.1 Schwingkreise, Impedanzen und Resonanzen51 3.2 Eigenfrequenz – Fehlerrechnung55 3.3 Spannungsverläufe LCR-Reihenschwingkreis bei Frequenzvariation56 3.3.1 Spannungsverlauf über der Induktivität57 3.3.2 Spannungsverlauf über Induktivität und Widerstand59 3.3.3 Spannungsverlauf über dem Widerstand61 3.3.4 Spannungsverlauf +ber der Kapazität62 3.4 Gedämpfter, erzwungener LCR-Reihenschwingkreis64 3.5 Gedämpfter, freier LCR-Reihenschwingkreis 67 3.6 Ungedämpfter, freier LC-Schwingkreis69 3.7 Gedämpfter, erzwungener LCR-Parallelschwingkreis70 3.8 Gedämpfter, freier LCR-Parallelschwingkreis76 3.9 Ungedämpfter, freier LC-Schwingkreis79 4 Stromverdrängung im Leiter 81 4.1 Stromverdrängung im Leiter – Modellbildung82 4.2 Stromverdrängung im Leiter – Berechnungsergebnis86 4.3 Stromverdrängung im Leiter – Simulationsergebnis87 4.4 Stromverdrängung im Leiter – Zusammenfassung89 5 Besselgleichung und Besselfunktion 91 5.1 Zur Person Wilhelm Friedrich Bessel92 5.2 Besselgleichung des LCR-Parallelschwingkreises93 5.3 Besselgleichung der Felddi usionsgleichung94 5.4 Besselfunktion zur Berechnung der Feldverteilung in einem Kondensator 97 5.4.1 Modellanordnung97 5.4.2 Herleitung der Besselfunktion98 5.5 Besselfunktion zur Berechnung der Flussdichteverteilung in einer Spule 101 5.5.1 Modellanordnung101 5.5.2 Herleitung der Besselfunktion101 5.6 Besselfunktion aus allgemeiner Form der Besselgleichung104 6 Lösung von Di erenzialgleichungen mittels Green’scher Funktionen 109 6.1 Zur Person George Green109 6.2 Green’sche Integralsätze112 6.3 PDE – Auf-, Integrationspunktanordnungen114 6.4 PDE – Vorbereitung zur Lösung nach Green – Di erenzialform116 6.5 PDE – Vorbereitung zur Lösung nach Green – Integralform118 6.5.1 Umstellen der PDE nach der zu lösenden Variable118 6.5.2 Homogene Randbedingungen120 6.5.3 Inhomogene Randbedingungen121 6.5.4 Dirichlet-Randbedingungen121 6.5.5 Neumann-Randbedingungen121 6.6 PDE – Lösung der Poisson’schen DGL122 6.6.1 Aufgabenbeschreibung122 6.6.2 Lösungsweg123 6.7 PDE – Lösung der Laplace’schen DGL125 6.7.1 Aufgabenbeschreibung125 6.7.2 Lösungsweg126 6.8 ODE – Vorbereitung zur Lösung mit der Green’schen Funktion128 6.8.1 Homogene Randbedingungen130 6.8.2 Inhomogene Randbedingungen130 6.8.3 Kontinuitäts- und Diskontinuitätsbedingungen131 6.9 ODE – Lösung von d2 u/dx2 = 1 (I) 133 6.9.1 Aufgabenbeschreibung133 6.9.2 Lösungsweg I134 6.9.3 Lösungsweg II137 6.10 ODE – Lösung von d2 y/dx2 + y = cosec x140 6.10.1 Aufgabenbeschreibung140 6.10.2 Lösungsweg140 6.11 ODE – Lösung von d2 y/dx2 + y = f(x)142 6.11.1 Aufgabenbeschreibung 142 6.11.2 Lösungsweg142 6.12 ODE – Lösung von d2 u/dx2 = 1 (II)144 6.12.1 Aufgabenbeschreibung144 6.12.2 Lösungsweg145 6.13 ODE – Lösung von d2 u/dx2 = x148 6.13.1 Aufgabenbeschreibung 148 6.13.2 Lösungsweg148 7 Di erenzialgleichungen und Finite Elemente 153 7.1 Beispiele aus der Physik für Di erenzialgleichungen 1’ter Ordnung153 7.2 Beispiele aus der Physik für Di erenzialgleichungen 2’ter Ordnung154 7.3 Finite Elemente158 8 Von der Momentenmethode zur Galerkin-Methode 161 8.1 Grundprinzip der Momentenmethode (MOM)161 8.2 Anmerkungen zur Momentenmethode163 8.2.1 Matrix (ljk)163 8.2.2 Wahl der Basis- und Wichtungsfunktionen n und wk164 8.3 Zur Person Boris Galerkin164 8.4 Galerkins Idee165 9 Traditionelle Galerkin-Methode 167 10 Galerkin-Methode – Lösung von du/dx = u 169 10.1 Wahl der Basis-und Wichtungsfunktion169 10.2 Formulierung der schwachen Form mit Basis- und Wichtungsfunktion 170 10.3 Überführung des Gleichungssystems in eine Matrizengleichung171 10.4 Lösung des linearen Gleichungssystems 171 11 Galerkin-Methode – Lösung von d2 u/dx2 = 4x2 + 1 175 11.1 Wahl der Basis-und Wichtungsfunktion175 11.2 Formulierung der schwachen Form mit Basis- und Wichtungsfunktion 176 11.3 Überführung des Gleichungssystems in eine Matrizengleichung176 11.4 Lösung des linearen Gleichungssystems178 12 Galerkin-Methode – Lösung von d2 u/dx2 = 1 (I) 181 12.1 Wahl der Basis-und Wichtungsfunktion182 12.2 Schwache Formulierung der Di erenzialgleichung182 12.3 Überführung des Gleichungssystems in eine Matrizengleichung183 12.4 Lösung des linearen Gleichungssystems183 13 Galerkin-Methode – Lösung von d2 u/dx2 = 1 (II) 185 13.1 Wahl der Basis-und Wichtungsfunktion185 13.2 Formulierung der schwachen Form mit Basis- und Wichtungsfunktion 186 13.3 Überführung des Gleichungssystems in eine Matrizengleichung187 13.4 Lösung des linearen Gleichungssystems188 14 Galerkin-Methode – Durchflutungsgesetz 191 14.1 Galerkin-Methode – Durchflutungsgesetz Innenbereich des Leiters193 14.1.1 Schwache Formulierung der Di erenzialgleichung193 14.1.2 Überführung des Gleichungssystems in eine Matrizengleichung 194 14.1.3 Lösung des linearen Gleichungssystems195 14.2 Galerkin-Methode – Durchflutungsgesetz Außenbereich des Leiters196 14.2.1 Schwache Formulierung der Di erenzialgleichung196 14.2.2 Überführung des Gleichungssystems in eine Matrizengleichung 197 14.2.3 Lösung des linearen Gleichungssystems198 14.3 Gegenüberstellung von FEM- mit Galerkin-Ergebnis199 15 Galerkin-FEM 201 15.1 Galerkin-FEM – Was wird gelöst?201 15.2 Galerkin-FEM – Vorgehen zur Lösung202 16 Galerkin-FEM – Lösung von d2 u/dx2 = 1 (I) 205 16.1 Schwache Formulierung der Di erenzialgleichung206 16.2 Diskretisierung des zu lösenden Gebiets 207 16.3 Wahl der Basis-und Wichtungsfunktion207 16.4 Formulierung der schwachen Form mit Dreiecksfunktionen (x)209 16.5 Überführung des Gleichungssystems in eine Matrizengleichung210 16.6 Lösung des linearen Gleichungssystems214 17 Galerkin-FEM – Lösung von d2 u/dx2 = 1 (II) 217 17.1 Schwache Formulierung der Di erenzialgleichung218 17.2 Diskretisierung des zu lösenden Gebiets 219 17.3 Wahl der Basis-und Wichtungsfunktion219 17.4 Formulierung der schwachen Form mit Dreiecksfunktionen (x)219 17.5 Überführung des Gleichungssystems in eine Matrizengleichung219 17.6 Lösung des linearen Gleichungssystems220 18 Galerkin-FEM – Elektrostatische Feldberechnung 223 18.1 Schwache Formulierung der Di erenzialgleichung223 18.2 Diskretisierung des zu lösenden Gebiets 224 18.3 Wahl der Basis-und Wichtungsfunktion224 18.4 Formulierung der schwachen Form mit Dreiecksfunktionen (x)224 18.5 Überführung des Gleichungssystems in eine Matrizengleichung226 18.6 Lösung des linearen Gleichungssystems228 19 Galerkin-FEM – Ortsabhängige Temperaturberechnung 231 19.1 Schwache Formulierung der Di erenzialgleichung231 19.2 Diskretisierung des zu lösenden Gebiets 233 19.3 Wahl der Basis-und Wichtungsfunktion233 19.4 Formulierung der schwachen Form mit Dreiecksfunktionen (x)233 19.5 Überführung des Gleichungssystems in eine Matrizengleichung234 19.6 Lösung des linearen Gleichungssystems235 19.7 Di usionsvorgang vollendet238 20 Galerkin-FEM – Ortsabhängige Magnetfeldberechnung 241 20.1 Schwache Formulierung der Di erenzialgleichung241 20.2 Diskretisierung des zu lösenden Gebiets 243 20.3 Wahl der Basis-und Wichtungsfunktion243 20.4 Formulierung der schwachen Form mit Dreiecksfunktionen (x)243 20.5 Überführung des Gleichungssystems in eine Matrizengleichung244 20.6 Lösung des linearen Gleichungssystems245 21 Einführung in die Finite-Di erenzen-Methode 251 21.1 Numerische Notation der linearen Felddi usionsgleichung251 21.2 Zu den Personen Crank und Nicolson252 21.3 Lösung mit impliziter Methode nach Crank-Nicolson252 21.3.1 Überführung der Di usionsgleichung in eine Matrizengleichung 253 21.3.2 Lösung der Matrizengleichung254 21.3.3 Anwendungsbeispiel257 21.4 Lösung mit expliziter Methode260 21.4.1 Überführung der Di usionsgleichung in eine Matrizengleichung .260 21.4.2 Lösung der Matrizengleichung261 21.4.3 Anwendungsbeispiel262 22 Anwendungen der FEM zur Produktentwicklung 269 22.1 Analyse eines Proportionalmagnets269 22.1.1 Preprocessing270 22.1.2 Processing271 22.1.3 Postprocessing272 22.2 Synthese eines planaren Asynchron-Scheibenläufermotors273 22.2.1 Preprocessing273 22.2.2 Processing273 22.2.3 Postprocessing274 22.2.4 Musterbau des planaren Asynchronmotors274 23 Virtuelle Produktentwicklung 277 23.1 Kopplung zwischen FEM- und Optimierungstool277 23.2 Mehrzieloptimierung – Pareto-Optimierung278 23.3 Optimierungsbeispiel Elektromagnet279 23.3.1 Monte Carlo-Methode280 23.3.2 Partikelschwarm-Methode282 23.3.3 Evolutionäre Methode .282 23.3.4 Diskussion der Ergebnisse 283 24 Eigenwertprobleme 285 24.1 Eigenwertproblem – Einführung285 24.2 Eigenwertproblem – Momentenmethode286 24.3 Eigenwertproblem – kanonische Form287 25 Eigenwertproblem-MOM – Lösung von d2 u/dx2 = u 289 25.1 Aufgabenbeschreibung289 25.2 Lösungsweg und Lösung290 25.3 Lösung für 1’ter Ordnung290 25.4 Lösung für 2’ter Ordnung294 26 Gemeinsamkeiten von Methoden zur Lösung von DGLs 297 26.1 Momentenmethode (MOM)297 26.2 Integraltransformation299 26.3 Green’sche Methode300 27 Wissenswertes zur Modellbildung 303 27.1 Kategorien der Modellbildung303 27.2 Analytik contra Numerik .304 28 Nützliche Normen 307 Literaturverzeichnis 311 A Anhang 317 A.1 MATLAB-Code – Wärmedi usionsskript317 A.2 MATLAB-Code – Magnetfelddi usionsskript321 A.3 Toolvergleich – MATLAB vs. COMSOL327 B Campus Künzelsau – Inside 329 Index 331