Dieses Buch beinhaltet eine Einführung in die faszinierende Welt der mathematischen Modellierung für alle, die auf diesem Gebiet noch keine großen Erfahrungen sammeln konnten. Die Darstellungstiefe orientiert sich dabei an Studierenden im Bachelorstudium. Während der erste Teil des Buchs sich der Methodik des Modellierens und den Aktivitäten im Modellierungszyklus widmet, hält der zweite Teil einen Werkzeugkasten für die einzelnen Modellierungsschritte parat. Die dritte Säule des Buches bilden einige Fallstudien, die nach unserer Methodik und mit den Techniken aus dem Werkzeugkasten…mehr
Dieses Buch beinhaltet eine Einführung in die faszinierende Welt der mathematischen Modellierung für alle, die auf diesem Gebiet noch keine großen Erfahrungen sammeln konnten. Die Darstellungstiefe orientiert sich dabei an Studierenden im Bachelorstudium.
Während der erste Teil des Buchs sich der Methodik des Modellierens und den Aktivitäten im Modellierungszyklus widmet, hält der zweite Teil einen Werkzeugkasten für die einzelnen Modellierungsschritte parat. Die dritte Säule des Buches bilden einige Fallstudien, die nach unserer Methodik und mit den Techniken aus dem Werkzeugkasten bearbeitet werden.
Das Modellieren beschränkt sich dabei nicht - und das ist das Besondere an dem Buch - auf die Modellentwürfe, sondern beinhaltet auch ihre Analyse, numerische Behandlung, Implementierung von Algorithmen, Rechnungen, Visualisierung und Analyse der Ergebnisse. Für die Implementierung der Berechnungen und die Visualisierung der Ergebnisse wird dabei konsequent das Softwarepaket MATLAB eingesetzt.
Das Buch stattet Sie mit dem nötigen Rüstzeug aus, sich selbstständig an die mathematische Modellierung von realen Anwendungsproblemen zu wagen und die in der Spezialliteratur beschriebenen Modelle kreativ anzupassen und einzusetzen.
Prof. Dr. Frank Haußer studierte in Freiburg und Berlin Physik und Mathematik. Nach seiner Promotion in theoretischer Physik arbeitete er zunächst mehrere Jahre als Software-Consultant und dann in der angewandten mathematischen Forschung. Seit April 2007 ist Frank Haußer Professor für Mathematik an der Beuth Hochschule für Technik Berlin.
Prof. Dr. Yury Luchko studierte Mathematik an der Universität Minsk. Nach seiner Promotion in Mathematik war er als Software-Entwickler in der Industrie und als wissenschaftlicher Mitarbeiter an mehreren Forschungseinrichtungen tätig. Seit Oktober 2006 ist Yury Luchko Professor für Mathematik an der Beuth Hochschule für Technik Berlin.
Inhaltsangabe
Vorwort Teil I: Grundlagen 1 Modelle und ihre Anwendung 1.1 Modelle sind überall 1.2 Modelle in der Wissenschaft 1.3 Mathematische Modelle - ein Ausflug 1.3.1 Wohin wollen wir fahren? 1.3.2 Wann ist das Wetter günstig? 1.3.3 Wo kommt unser Auto her? 1.3.4 Wie finden wir den Weg? 1.3.5 Wie wird der Verkehr geregelt? 2 Modellierung des Freiwurfs beim Basketball 2.1 Erstes Modell: Der beste Abwurfwinkel 2.1.1 Analyse des Anwendungsproblems 2.1.2 Herleitung eines mathematischen Modells 2.1.3 Lösen des mathematischen Problems: Implementierung und Simulation 2.1.4 Interpretation der Ergebnisse und Verfeinerung des Modells 2.2 Zweites Modell: Die beste Wurfbahn 2.2.1 Analyse der Problems: Bestimmung des zulässigen Gebietes 2.2.2 Mathematisches Modell: Mehrzieloptimierung 2.2.3 Lösung, Auswertung und Interpretation 2.2.4 Analyse der Ergebnisse 2.3 Aufgaben 3 Methodik der mathematischen Modellierung 3.1 Modellierungszyklus 3.2 Analyse des Anwendungsproblems 3.2.1 Präzisierung der Fragestellung 3.2.2 Annahmen 3.3 Modellbildung 3.3.1 System- und Modellparameter 3.3.2 Zustandsgrößen und gesuchte Größen 3.3.3 Nebenbedingungen und bekannte Gesetzmäßigkeiten 3.3.4 Formulierung einer mathematischen Aufgabenstellung 3.4 Mathematische Analyse des Modells 3.5 Computergestützte Berechnungen und Simulationen 3.6 Interpretation und Validierung 3.6.1 Validierung der Berechnung der Lösung 3.6.2 Interpretation der Ergebnisse und Validierung des Modells 3.7 Modelltypen - Modellklassifikation 3.7.1 Mathematische Strukturen und Methoden 3.7.2 Gruppierung nach Phänomenen 3.7.3 Modellierungsziele 3.7.4 Beschreibungsebene 3.8 Aufgaben Teil II: Werkzeuge 4 Prinzipien zur Formulierung eines Modells 4.1 Erhaltungssätze und Bilanzgleichungen 4.1.1 Systembilanzgleichungen 4.1.2 Erhaltungsgrößen und Erhaltungssätze 4.1.3 Lokale Bilanzgleichungen 4.2 Zustände und Übergänge 4.2.1 Diskrete deterministische Übergänge 4.2.2 Stochastische Übergänge - Stochastische Prozesse 4.2.3 Zelluläre Automaten 4.2.4 Kontinuierliche Übergänge 4.3 Einmal vom Mikroskopischen zum Makroskopischen und zurück 4.3.1 Modell des idealen Gases 4.3.2 Fouriersches Gesetz der Wärmeleitung 4.3.3 Random-Walk-Modell der Diffusion 4.4 Aufgaben 5 Mathematische Analyse von Modellen 5.1 Lösbarkeit 5.1.1 Lineare und nichtlineare Gleichungen 5.1.2 Differentialgleichungen 5.1.3 Inverse und schlecht gestellte Probleme 5.2 Dimensionsanalyse 5.2.1 Einheiten und Dimensionen 5.2.2 Entdimensionalisierung und Skalierung 5.2.3 Modellreduktion durch Dimensionsanalyse 5.3 Linearisierung 5.4 Störungstheorie und asymptotische Entwicklung 5.5 Stationäre Zustände, Stabilität und asymptotisches Verhalten 5.5.1 Diskrete lineare dynamische Systeme 5.5.2 Diskrete nichtlineare dynamische Systeme 5.5.3 Markov-Ketten 5.5.4 Kontinuierliche lineare dynamische Systeme 5.5.5 Kontinuierliche nichtlineare dynamische Systeme 5.6 Aufgaben 6 Berechnung, Simulation und Visualisierung 6.1 Diskrete dynamische Systeme 6.2 Kontinuierliche dynamische Systeme 6.3 Partielle Differentialgleichungen 6.3.1 Eindimensionale Konvektions-Reaktions-Gleichung 6.3.2 Dreidimensionale Transportgleichung 6.4 Aufgaben Teil III: Fallstudien 7 Informationssuche im Web: Google's PageRank 7.1 Von der Link-Struktur zum PageRank 7.2 Zufalls-Surfer und Markov-Ketten 7.3 Lösungsstrategie und Sensitivitätsanalyse 7.3.1 Berechnung des PageRanks mit der Vektoriteration 7.3.2 Konvergenzgeschwindigkeit und Wahl des Parameters alpha 7.3.3 Sensitivitätsanalyse 7.4 Berechnung des PageRank-Vektors 7.5 Diskussion und Ausblick 7.6 Aufgaben 8 Fischbestände und optimale Fangquoten 8.1 Einfache Modelle der Entwicklung von Fischbeständen 8.2 Optimale Fischfangquoten 8.3 Räuber-Beute-Modelle 8.4 Ausblick auf weitere Modelle 8.5 Aufgaben 9 Schadstoffausbreitung in einem Gewässer 9.1 Konvektion und Abbau in einem Fluss 9.2 Konvektion, Diffusion und Abbau in einem flachen See 9.3 Drei Dimensionen und andere Verallgemeinerungen 9.4 Aufgaben
Vorwort Teil I: Grundlagen 1 Modelle und ihre Anwendung 1.1 Modelle sind überall 1.2 Modelle in der Wissenschaft 1.3 Mathematische Modelle - ein Ausflug 1.3.1 Wohin wollen wir fahren? 1.3.2 Wann ist das Wetter günstig? 1.3.3 Wo kommt unser Auto her? 1.3.4 Wie finden wir den Weg? 1.3.5 Wie wird der Verkehr geregelt? 2 Modellierung des Freiwurfs beim Basketball 2.1 Erstes Modell: Der beste Abwurfwinkel 2.1.1 Analyse des Anwendungsproblems 2.1.2 Herleitung eines mathematischen Modells 2.1.3 Lösen des mathematischen Problems: Implementierung und Simulation 2.1.4 Interpretation der Ergebnisse und Verfeinerung des Modells 2.2 Zweites Modell: Die beste Wurfbahn 2.2.1 Analyse der Problems: Bestimmung des zulässigen Gebietes 2.2.2 Mathematisches Modell: Mehrzieloptimierung 2.2.3 Lösung, Auswertung und Interpretation 2.2.4 Analyse der Ergebnisse 2.3 Aufgaben 3 Methodik der mathematischen Modellierung 3.1 Modellierungszyklus 3.2 Analyse des Anwendungsproblems 3.2.1 Präzisierung der Fragestellung 3.2.2 Annahmen 3.3 Modellbildung 3.3.1 System- und Modellparameter 3.3.2 Zustandsgrößen und gesuchte Größen 3.3.3 Nebenbedingungen und bekannte Gesetzmäßigkeiten 3.3.4 Formulierung einer mathematischen Aufgabenstellung 3.4 Mathematische Analyse des Modells 3.5 Computergestützte Berechnungen und Simulationen 3.6 Interpretation und Validierung 3.6.1 Validierung der Berechnung der Lösung 3.6.2 Interpretation der Ergebnisse und Validierung des Modells 3.7 Modelltypen - Modellklassifikation 3.7.1 Mathematische Strukturen und Methoden 3.7.2 Gruppierung nach Phänomenen 3.7.3 Modellierungsziele 3.7.4 Beschreibungsebene 3.8 Aufgaben Teil II: Werkzeuge 4 Prinzipien zur Formulierung eines Modells 4.1 Erhaltungssätze und Bilanzgleichungen 4.1.1 Systembilanzgleichungen 4.1.2 Erhaltungsgrößen und Erhaltungssätze 4.1.3 Lokale Bilanzgleichungen 4.2 Zustände und Übergänge 4.2.1 Diskrete deterministische Übergänge 4.2.2 Stochastische Übergänge - Stochastische Prozesse 4.2.3 Zelluläre Automaten 4.2.4 Kontinuierliche Übergänge 4.3 Einmal vom Mikroskopischen zum Makroskopischen und zurück 4.3.1 Modell des idealen Gases 4.3.2 Fouriersches Gesetz der Wärmeleitung 4.3.3 Random-Walk-Modell der Diffusion 4.4 Aufgaben 5 Mathematische Analyse von Modellen 5.1 Lösbarkeit 5.1.1 Lineare und nichtlineare Gleichungen 5.1.2 Differentialgleichungen 5.1.3 Inverse und schlecht gestellte Probleme 5.2 Dimensionsanalyse 5.2.1 Einheiten und Dimensionen 5.2.2 Entdimensionalisierung und Skalierung 5.2.3 Modellreduktion durch Dimensionsanalyse 5.3 Linearisierung 5.4 Störungstheorie und asymptotische Entwicklung 5.5 Stationäre Zustände, Stabilität und asymptotisches Verhalten 5.5.1 Diskrete lineare dynamische Systeme 5.5.2 Diskrete nichtlineare dynamische Systeme 5.5.3 Markov-Ketten 5.5.4 Kontinuierliche lineare dynamische Systeme 5.5.5 Kontinuierliche nichtlineare dynamische Systeme 5.6 Aufgaben 6 Berechnung, Simulation und Visualisierung 6.1 Diskrete dynamische Systeme 6.2 Kontinuierliche dynamische Systeme 6.3 Partielle Differentialgleichungen 6.3.1 Eindimensionale Konvektions-Reaktions-Gleichung 6.3.2 Dreidimensionale Transportgleichung 6.4 Aufgaben Teil III: Fallstudien 7 Informationssuche im Web: Google's PageRank 7.1 Von der Link-Struktur zum PageRank 7.2 Zufalls-Surfer und Markov-Ketten 7.3 Lösungsstrategie und Sensitivitätsanalyse 7.3.1 Berechnung des PageRanks mit der Vektoriteration 7.3.2 Konvergenzgeschwindigkeit und Wahl des Parameters alpha 7.3.3 Sensitivitätsanalyse 7.4 Berechnung des PageRank-Vektors 7.5 Diskussion und Ausblick 7.6 Aufgaben 8 Fischbestände und optimale Fangquoten 8.1 Einfache Modelle der Entwicklung von Fischbeständen 8.2 Optimale Fischfangquoten 8.3 Räuber-Beute-Modelle 8.4 Ausblick auf weitere Modelle 8.5 Aufgaben 9 Schadstoffausbreitung in einem Gewässer 9.1 Konvektion und Abbau in einem Fluss 9.2 Konvektion, Diffusion und Abbau in einem flachen See 9.3 Drei Dimensionen und andere Verallgemeinerungen 9.4 Aufgaben
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