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In view of the eminent importance of spectral theory of linear operators in many fields of mathematics and physics, it is not surprising that various attempts have been made to define and study spectra also for nonlinear operators. This book provides a comprehensive and self-contained treatment of the theory, methods, and applications of nonlinear spectral theory. The only prerequisite for understanding this book is a modest background in functional analysis and operator theory. It is addressed to non-specialists who want to get an idea of the development of spectral theory for nonlinear operators in the last 30 years, as well as a glimpse of the diversity of the directions in which current research is moving.
Aufgrund der herausragenden Bedeutung der Spektraltheorie linearer Operatoren in vielen Bereichen der Mathematik und Physik ist es nicht verwunderlich, dass verschiedene Versuche unternommen wurden, Spektren auch für nichtlineare Operatoren zu definieren und zu untersuchen. Dieses Buch bietet eine umfassende und in sich abgeschlossene Behandlung der Theorie, Methoden und Anwendungen der nichtlinearen Spektraltheorie.
Im ersten Kapitel wird eine kurze Wiederholung der Definition und Eigenschaften des Spektrums und verschiedener Subspektren für gebundene lineare Operatoren vorgenommen. Im Anschluss werden einige numerische Eigenschaften für nichtlineare Operatoren eingeführt, die für die Beschreibung der Operatorenklassen nützlich sind, für die eine Spektraltheorie existiert. Da Spektralwerte eng mit den Lösbarkeitsresultaten für Operatorengleichungen zusammenhängen, werden verschiedene Bedingungen für die lokale oder globale Invertierbarkeit eines nichtlinearen Operators im dritten Kapitel aufgestellt. Die folgenden zwei Kapitel betreffen Spektren für bestimmte Klassen von stetigen, Lipschitz-stetigen und Differentialoperatoren. Diese Spektren passen jedoch einfach die entsprechenden Definitionen der linearen Theorie an, was ihre Anwendbarkeit in gewisser Weise einschränkt. Andere Spektren, die auf eine vollständig unterschiedliche Weise definiert werden, jedoch nützliche Anwendungsmöglichkeiten aufzuweisen scheinen, werden in den folgenden vier Kapiteln definiert und untersucht. Die restlichen drei Kapitel sind mehr auf die Anwendung ausgerichtet und behandeln nichtlineare Eigenwertprobleme, numerische Bereiche und ausgewählte Anwendungen für nichtlineare Probleme.
Die einzigen Voraussetzungen für das Verständnis dieses Buchs sind gewisse Vorkenntnisse in Funktionsanalyse und Operatorentheorie. Es ist für Nicht-Fachleute gedacht, die einen Überblick über die Entwicklung der Spektraltheorie für nichtlineare Operatoren in den letzten 30Jahren sowie einen kurzen Abriss über die verschiedenen Richtungen, in die sich die Forschung derzeit bewegt, erhalten möchten.
Aufgrund der herausragenden Bedeutung der Spektraltheorie linearer Operatoren in vielen Bereichen der Mathematik und Physik ist es nicht verwunderlich, dass verschiedene Versuche unternommen wurden, Spektren auch für nichtlineare Operatoren zu definieren und zu untersuchen. Dieses Buch bietet eine umfassende und in sich abgeschlossene Behandlung der Theorie, Methoden und Anwendungen der nichtlinearen Spektraltheorie.
Im ersten Kapitel wird eine kurze Wiederholung der Definition und Eigenschaften des Spektrums und verschiedener Subspektren für gebundene lineare Operatoren vorgenommen. Im Anschluss werden einige numerische Eigenschaften für nichtlineare Operatoren eingeführt, die für die Beschreibung der Operatorenklassen nützlich sind, für die eine Spektraltheorie existiert. Da Spektralwerte eng mit den Lösbarkeitsresultaten für Operatorengleichungen zusammenhängen, werden verschiedene Bedingungen für die lokale oder globale Invertierbarkeit eines nichtlinearen Operators im dritten Kapitel aufgestellt. Die folgenden zwei Kapitel betreffen Spektren für bestimmte Klassen von stetigen, Lipschitz-stetigen und Differentialoperatoren. Diese Spektren passen jedoch einfach die entsprechenden Definitionen der linearen Theorie an, was ihre Anwendbarkeit in gewisser Weise einschränkt. Andere Spektren, die auf eine vollständig unterschiedliche Weise definiert werden, jedoch nützliche Anwendungsmöglichkeiten aufzuweisen scheinen, werden in den folgenden vier Kapiteln definiert und untersucht. Die restlichen drei Kapitel sind mehr auf die Anwendung ausgerichtet und behandeln nichtlineare Eigenwertprobleme, numerische Bereiche und ausgewählte Anwendungen für nichtlineare Probleme.
Die einzigen Voraussetzungen für das Verständnis dieses Buchs sind gewisse Vorkenntnisse in Funktionsanalyse und Operatorentheorie. Es ist für Nicht-Fachleute gedacht, die einen Überblick über die Entwicklung der Spektraltheorie für nichtlineare Operatoren in den letzten 30Jahren sowie einen kurzen Abriss über die verschiedenen Richtungen, in die sich die Forschung derzeit bewegt, erhalten möchten.
"This text will certainly serve as an excellent reference book for many years."
EMS Newsletter 3/2005
"The book can be considered as a systematic introduction to this area, emphasizing the diversity of directions in which current research in nonlinear spectral ist developing."
S. Cobzas in: Studia Universitatis Babes-Boyai 1/2005
"This carefully written book is a comprehensive treatment of the subject including new results several of them archieved by the author. [...] This research monograph is recommended to scientists interested in the theory of nonlinar operators and their applications."
R. Schumann in ZAA 4/2004
"One of the features of the book is that it provides many examples, varying from trivial to profound, to illustrate exactly what can and cannot happen. Each chapter ends with a valuable "Notes and remarks'' section; some of these contain some open problems. The book is well written, the presentation is self-contained, and the text may be read by anyone with a background in functional analysis who knows a little nonlinear analysis." Mathematical Reviews
"This text will certainly serve as an excellent reference book for many years."EMS Newsletter 3/2005 "The book can be considered as a systematic introduction to this area, emphasizing the diversity of directions in which current research in nonlinear spectral ist developing."S. Cobzas in: Studia Universitatis Babes-Boyai 1/2005 "This carefully written book is a comprehensive treatment of the subject including new results several of them archieved bythe author. [...] This research monograph is recommended to scientists interested in the theory of nonlinar operators and their applications."R. Schumann in ZAA 4/2004
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"The book can be considered as a systematic introduction to this area, emphasizing the diversity of directions in which current research in nonlinear spectral ist developing."
S. Cobzas in: Studia Universitatis Babes-Boyai 1/2005
"This carefully written book is a comprehensive treatment of the subject including new results several of them archieved by the author. [...] This research monograph is recommended to scientists interested in the theory of nonlinar operators and their applications."
R. Schumann in ZAA 4/2004
"One of the features of the book is that it provides many examples, varying from trivial to profound, to illustrate exactly what can and cannot happen. Each chapter ends with a valuable "Notes and remarks'' section; some of these contain some open problems. The book is well written, the presentation is self-contained, and the text may be read by anyone with a background in functional analysis who knows a little nonlinear analysis." Mathematical Reviews
"This text will certainly serve as an excellent reference book for many years."EMS Newsletter 3/2005 "The book can be considered as a systematic introduction to this area, emphasizing the diversity of directions in which current research in nonlinear spectral ist developing."S. Cobzas in: Studia Universitatis Babes-Boyai 1/2005 "This carefully written book is a comprehensive treatment of the subject including new results several of them archieved bythe author. [...] This research monograph is recommended to scientists interested in the theory of nonlinar operators and their applications."R. Schumann in ZAA 4/2004