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O objetivo principal deste trabalho é dar um novo método construtivo para resolver o problema do comportamento de geodésicas em superfícies hiperbólicas de assinatura . Inicialmente: 1) obtemos uma classificação completa de todas as curvas geodésicas possíveis nas variedades hiperbólicas mais simples (corno hiperbólico; cilindro hiperbólico; corno parabólico (cúspide), calça hiperbólica); 2) em superfícies de género 2; Finalmente: 3) numa superfície hiperbólica compacta fechada sem fronteiras (caso geral); 4) numa superfície hiperbólica de género g e com n componentes geodésicas de fronteira; 5) num toro hiperbólico 1-perfurado; numa calça hiperbólica generalizada; no caso geral: para qualquer superfície hiperbólica perfurada de género g e k perfurações; 6) no caso mais geral: ou em qualquer superfície hiperbólica de assinatura
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