Gegenstand dieses Buches sind Randwertaufgaben. Für elliptische Differentialopera toren werden durch die Bedingung von Lopatinskij-Sapiro ( = covering condition) alle Randwertbedingungen angegeben, die zur normalen Lösbarkeit eines Randwertpro blems führen. Auch wird die Variationsmethode ausführlich dargelegt und Fragen nach ihrem Verhältnis zur allgemeinen elliptischen Theorie behandelt. Bei paraboli schen und hyperbolischen Differentialoperatoren werden solche betrachtet, deren rechte Seite (Ableitungen nach x) ein elliptischer Differentialoperator ist, und die Kenntnisse über elliptische…mehr
Gegenstand dieses Buches sind Randwertaufgaben. Für elliptische Differentialopera toren werden durch die Bedingung von Lopatinskij-Sapiro ( = covering condition) alle Randwertbedingungen angegeben, die zur normalen Lösbarkeit eines Randwertpro blems führen. Auch wird die Variationsmethode ausführlich dargelegt und Fragen nach ihrem Verhältnis zur allgemeinen elliptischen Theorie behandelt. Bei paraboli schen und hyperbolischen Differentialoperatoren werden solche betrachtet, deren rechte Seite (Ableitungen nach x) ein elliptischer Differentialoperator ist, und die Kenntnisse über elliptische Operatoren werden benutzt, um Einsichten in die Lösbarkeit und die Regularitätseigenschaften der Lösung beim gemischten Problem zu gewinnen. Für die Bedingung von Lopatinskij-Sapiro habe ich eine Form gewählt, die es erlaubt, sofort zu testen, ob gegebene Randwertbedingungen sie erfüllen oder nicht. Es zeigt sich, daß alle klassischen Randwertaufgaben ihr genügen, die Beispiele sind im Einzelnen nachgerechnet. Um den Umfang des Buches nicht zu sehr anschwellen zu lassen und den einführenden Charakter zu wahren, habe ich Pseudodifferentialoperatoren nicht behandelt; doch habe ich den Hauptsatz für elliptische Randwertprobleme durch Pseudodifferentialo peratoren bewiesen - ohne sie so zu benennen. Den Differentialgleichungen habe ich ein ausführliches Kapitel über Distributionen und Sobolevräume vorangestellt; ich bin hier elementar vorgegangen, habe mit der Fouriertransformation gearbeitet und habe keine Interpolationssätze benutzt. Dies ist 2 - solange man innerhalb der L-Theorie bleibt - ohne weiteres möglich. Die U Theorie habe ich nicht behandelt, sie bekommt ihr volles Gewicht erst für nichtlineare Gleichungen, siehe z. B. Lions [3], während sie für lineare nicht viele grundlegend neue Erkenntnisse bringt.
I Sobolevräume.- 1 Bezeichnungen, Grundbegriffe, Distributionen.- 1.1 Bezeichnungen.- 1.2 Die Partition der Eins.- 1.3 Die Regularisierung von Funktionen.- 1.4 Distributionen.- 1.5 Der Support einer Distribution.- 1.6 Differentiation und Multiplikation.- 1.7 Distributionen mit einem kompakten Träger.- 1.8 Die Convolution.- 1.9 Die Fouriertransformation.- 2 Geometrische Voraussetzungen an die Gebiete ?.- 2.1 Segment- und Kegeleigenschaften.- 2.2 Die Nk,x-Eigenschaft von ?.- 2.3 (k, ?)-Diffeomorphismen und (k, ?)-glatte ? s.- 2.4 Normale Transformationen.- 2.5 Differenzierbare Mannigfaltigkeiten.- 3 Definitionen und Dichteeigenschaften der Sobolev-Slobodeckijschen Räume W2l(?).- 3.1 Definitionen der Sobolev-Slobodeckijschen Räume W2l(?).- 3.2 Dichteeigenschaften.- 4 Der Transformationssatz und Sobolevräume auf differenzierbaren Mannigfaltigkeiten.- 4.1 Der Transformationssatz.- 4.2 Sobolevräume auf differenzierbaren Mannigfaltigkeiten.- 5 Die Definition der Sobolevschen Räume durch die Fouriertransformation und Fortsetzungssätze.- 5.1 Sobolevräume und die Fouriertransformation.- 5.2 Fortsetzungssätze.- 6 Stetige Einbettungen und das Lemma von Sobolev.- 7 Kompakte Einbettungen.- 8 Der Spuroperator.- 9 Die schwache Folgenkompaktheit und die Approximation der Ableitungen durch Differenzenquotienten.- II Elliptische Differentialoperatoren.- 10 Lineare Differentialoperatoren.- 11 Die Bedingung von Lopatinskij- apiro und Beispiele.- 11.1 Die Bedingung von Lopatinskij- apiro.- 11.2 Beispiele.- 12 Fredholmoperatoren.- 12.1 Der Spektralsatz von Riesz-Schauder (kompakte Operatoren).- 12.2 Fredholmoperatoren.- 12.3 A-priori-Abschätzungen, Weylsches Lemma und glättbare Operatoren.- 13 Der Hauptsatz und einige Sätze über den Index von elliptischen Randwertproblemen.- 13.1 Der Hauptsatz für elliptische Randwertprobleme.- 13.2 Index und Spektrum von elliptischen Randwertaufgaben.- 14 Die Greenschen Formeln.- 14.1 Normale Randwertoperatoren und Dirichletsysteme.- 14.2 Die erste Greensche Formel.- 14.3 Adjungierte Randwertoperatoren und Randwerträume.- 14.4 Die zweite Greensche Formel.- 14.5 Der antiduale Operator L? und die adjungierte Randwertaufgabe.- 15 Die adjungierte Randwertaufgabe und der Zusammenhang mit dem Bildraum des ursprünglichen Operators.- 16 Beispiele.- III Stark elliptische Differentialoperatoren und die Variationsmethode.- 17 Gelfandsche Dreier, der Satz von Lax-Milgram, V-elliptische und V-koerzive Operatoren.- 17.1 Gelfandsche Dreier.- 17.2 Darstellungen für Funktionale auf Sobolevräumen.- 17.3 Der Satz von Lax-Milgram.- 17.4 V-elliptische und V-koerzive Formen, Lösungssätze.- 17.5 Der Greensche Operator.- 17.6 Die Begriffe V-elliptisch und V-koerziv für Differentialoperatoren.- 18 Die Bedingung von Agmon.- 19 Der Satz von Agmon: Bedingungen für die V-Koerzivität von stark elliptischen Differentialoperatoren.- 19.1 Die Sätze von Gårding und Agmon.- 19.2 Beispiele, u. a. das Dirichletproblem für stark elliptische Differentialoperatoren.- 20 Die Regularität der Lösungen von stark elliptischen Gleichungen.- 21 Der Lösungssatz für stark elliptische Gleichungen und Beispiele.- 22 Der Schaudersche Fixpunktsatz und eine nichtlineare Aufgabe.- 23 Elliptische Randwertaufgaben für unbeschränkte Gebiete.- IV Parabolische Differentialoperatoren.- 24 Das Bochner-Integral.- 24.1 Der Satz von Pettis.- 24.2 Das Bochner-Integral.- 25 Distributionen mit Werten in Hilberträumen H und der Raum W(0, T).- 26 Die Existenz und Eindeutigkeit der Lösung einer parabolischen Differentialgleichung.- 27 Die Regularität der Lösungen der parabolischen Differentialgleichung.- 27.1 Ein abstrakter Regularitätssatz.- 27.2 Differenzierbarkeit nach t.- 27.3 Differenzierbarkeit nach x.- 28 Beispiele.- V Hyperbolische Differentialoperatoren.- 29 Die Existenz und Eindeutigkeit der Lösung.- 30 Die Regularität der Lösungen der hyperbolischen Differentialgleichung.- 3
I Sobolevräume.- 1 Bezeichnungen, Grundbegriffe, Distributionen.- 1.1 Bezeichnungen.- 1.2 Die Partition der Eins.- 1.3 Die Regularisierung von Funktionen.- 1.4 Distributionen.- 1.5 Der Support einer Distribution.- 1.6 Differentiation und Multiplikation.- 1.7 Distributionen mit einem kompakten Träger.- 1.8 Die Convolution.- 1.9 Die Fouriertransformation.- 2 Geometrische Voraussetzungen an die Gebiete ?.- 2.1 Segment- und Kegeleigenschaften.- 2.2 Die Nk,x-Eigenschaft von ?.- 2.3 (k, ?)-Diffeomorphismen und (k, ?)-glatte ? s.- 2.4 Normale Transformationen.- 2.5 Differenzierbare Mannigfaltigkeiten.- 3 Definitionen und Dichteeigenschaften der Sobolev-Slobodeckijschen Räume W2l(?).- 3.1 Definitionen der Sobolev-Slobodeckijschen Räume W2l(?).- 3.2 Dichteeigenschaften.- 4 Der Transformationssatz und Sobolevräume auf differenzierbaren Mannigfaltigkeiten.- 4.1 Der Transformationssatz.- 4.2 Sobolevräume auf differenzierbaren Mannigfaltigkeiten.- 5 Die Definition der Sobolevschen Räume durch die Fouriertransformation und Fortsetzungssätze.- 5.1 Sobolevräume und die Fouriertransformation.- 5.2 Fortsetzungssätze.- 6 Stetige Einbettungen und das Lemma von Sobolev.- 7 Kompakte Einbettungen.- 8 Der Spuroperator.- 9 Die schwache Folgenkompaktheit und die Approximation der Ableitungen durch Differenzenquotienten.- II Elliptische Differentialoperatoren.- 10 Lineare Differentialoperatoren.- 11 Die Bedingung von Lopatinskij- apiro und Beispiele.- 11.1 Die Bedingung von Lopatinskij- apiro.- 11.2 Beispiele.- 12 Fredholmoperatoren.- 12.1 Der Spektralsatz von Riesz-Schauder (kompakte Operatoren).- 12.2 Fredholmoperatoren.- 12.3 A-priori-Abschätzungen, Weylsches Lemma und glättbare Operatoren.- 13 Der Hauptsatz und einige Sätze über den Index von elliptischen Randwertproblemen.- 13.1 Der Hauptsatz für elliptische Randwertprobleme.- 13.2 Index und Spektrum von elliptischen Randwertaufgaben.- 14 Die Greenschen Formeln.- 14.1 Normale Randwertoperatoren und Dirichletsysteme.- 14.2 Die erste Greensche Formel.- 14.3 Adjungierte Randwertoperatoren und Randwerträume.- 14.4 Die zweite Greensche Formel.- 14.5 Der antiduale Operator L? und die adjungierte Randwertaufgabe.- 15 Die adjungierte Randwertaufgabe und der Zusammenhang mit dem Bildraum des ursprünglichen Operators.- 16 Beispiele.- III Stark elliptische Differentialoperatoren und die Variationsmethode.- 17 Gelfandsche Dreier, der Satz von Lax-Milgram, V-elliptische und V-koerzive Operatoren.- 17.1 Gelfandsche Dreier.- 17.2 Darstellungen für Funktionale auf Sobolevräumen.- 17.3 Der Satz von Lax-Milgram.- 17.4 V-elliptische und V-koerzive Formen, Lösungssätze.- 17.5 Der Greensche Operator.- 17.6 Die Begriffe V-elliptisch und V-koerziv für Differentialoperatoren.- 18 Die Bedingung von Agmon.- 19 Der Satz von Agmon: Bedingungen für die V-Koerzivität von stark elliptischen Differentialoperatoren.- 19.1 Die Sätze von Gårding und Agmon.- 19.2 Beispiele, u. a. das Dirichletproblem für stark elliptische Differentialoperatoren.- 20 Die Regularität der Lösungen von stark elliptischen Gleichungen.- 21 Der Lösungssatz für stark elliptische Gleichungen und Beispiele.- 22 Der Schaudersche Fixpunktsatz und eine nichtlineare Aufgabe.- 23 Elliptische Randwertaufgaben für unbeschränkte Gebiete.- IV Parabolische Differentialoperatoren.- 24 Das Bochner-Integral.- 24.1 Der Satz von Pettis.- 24.2 Das Bochner-Integral.- 25 Distributionen mit Werten in Hilberträumen H und der Raum W(0, T).- 26 Die Existenz und Eindeutigkeit der Lösung einer parabolischen Differentialgleichung.- 27 Die Regularität der Lösungen der parabolischen Differentialgleichung.- 27.1 Ein abstrakter Regularitätssatz.- 27.2 Differenzierbarkeit nach t.- 27.3 Differenzierbarkeit nach x.- 28 Beispiele.- V Hyperbolische Differentialoperatoren.- 29 Die Existenz und Eindeutigkeit der Lösung.- 30 Die Regularität der Lösungen der hyperbolischen Differentialgleichung.- 3
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