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Prüfungstrainer Analysis
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Dieser 'Prüfungstrainer' wendet sich an Studierende mit Mathematik als Haupt- oder Nebenfach, die - insbesondere bei der Prüfungs- oder Klausurvorbereitung - den Wunsch verspüren, als Ergänzung zu den Lehrbüchern den umfangreichen Stoff des Analysisgrundstudiums noch einmal in pointierter Form vorliegen zu haben, zugespitzt auf dasjenige, was man wirklich wissen und beherrschen sollte, um eine Prüfung erfolgreich zu bestehen und exakte Antworten auf mögliche Fragen formulieren zu können.In einem konzisen Frage-Antworten-Stil werden die zentralen Begriffe und Beweise der Analysis wieder...
Dieser 'Prüfungstrainer' wendet sich an Studierende mit Mathematik als Haupt- oder Nebenfach, die - insbesondere bei der Prüfungs- oder Klausurvorbereitung - den Wunsch verspüren, als Ergänzung zu den Lehrbüchern den umfangreichen Stoff des Analysisgrundstudiums noch einmal in pointierter Form vorliegen zu haben, zugespitzt auf dasjenige, was man wirklich wissen und beherrschen sollte, um eine Prüfung erfolgreich zu bestehen und exakte Antworten auf mögliche Fragen formulieren zu können.
In einem konzisen Frage-Antworten-Stil werden die zentralen Begriffe und Beweise der Analysis wiederholt. Mehr noch als auf die Rechenfähigkeit (die sicherlich auch notwendig ist und nicht zu kurz kommt) wird dabei Wert auf das grundsätzliche Verständnis wichtiger Konzepte gelegt. Dem Autorenduo - einem Dozenten mit langjähriger Vorlesungs- und Prüfungserfahrung und einem Mathematikabsolventen - ist es sehr gut gelungen, mit der Auswahl der Fragen ein realistisches Bild davon zu vermitteln, was einen Studenten in der mündlichen Prüfung oder einer Klausur typischerweise erwartet.
Durch die Gliederung des Stoffes in einzelne Fragen eignet sich das Buch ausgezeichnet dazu, Wissen stichpunktartig zu trainieren und zu überprüfen; auch höhere Semester können davon profitieren, wenn sie schon einmal Gelerntes noch einmal gezielt nachschlagen wollen. Eine besondere Attraktion stellen die ca. 180 Abbildungen dar, die geometrische Sachverhalte veranschaulichen.
Inhaltsverzeichnis:
1 Die Systeme der reellen und komplexen Zahlen
1.1 Axiomatische Einführung der reellen Zahlen
1.2 Natürliche Zahlen und vollständige Induktion
1.3 Die ganzen und rationalen Zahlen
1.4 Der Körper der komplexen Zahlen
1.5 Die Standardvektorräume Rn und Cn
1.6 Einige wichtige Ungleichungen
2 Folgen reeller und komplexer Zahlen
2.1 Definitionen, Beispiele, grundlegende Feststellungen
2.2 Permanenzeigenschaften (Rechenregeln) für konvergente Folgen
2.3 Prinzipien der Konvergenztheorie
3 (Unendliche) Reihen
3.1 Definitionen und erste Beispiele
3.2 Konvergenzkriterien für reelle Reihen
3.3 Reihen mit beliebigen Gliedern - absolute Konvergenz
3.4 Umordnung von Reihen, Reihenprodukte
3.5 Elementares über Potenzreihen
3.6 Der große Umordnungssatz
4 Stetigkeit, Grenzwerte von Funktionen
4.1 Grundbegriffe
4.2 Stetigkeit
4.3 Grenzwerte bei Funktionen
5 Funktionenfolgen, Funktionenreihen, Potenzreihen
5.1 Punktweise und gleichmäßige Konvergenz
5.2 Potenzreihen
6 Elementare (transzendente) Funktionen
6.1 Die komplexe Exponentialfunktion
6.2 Die trigonometrischen Funktionen und die Hyperbelfunktionen
6.3 Natürlicher Loagrithmus und allgemeine Potenzen
6.4 Die Umkehrfunktionen der der trigonometrischen und hyperbolischen Funktionen
7 Grundlagen der Integral- und Differenzialrechnung
7.1 Das Integral für Treppenfunktionen und Regelfunktionen
7.2 Grundlagen der Differenzialrechnung
7.3 Der Hauptsatz der Differenzial- und Integralrechnung
7.4 Integrationstechniken
8 Anwendungen der Differenzial- und Integralrechnung
8.1 Taylor'sche Formel und Taylorreihen
8.2 Fixpunktiteration und Newton-Verfahren
8.3 Interpolation und einfache Quadraturformeln
8.4 Uneigentliche Integrale, T-Funktion
8.5 Bernoulli'sche Polynome und -Zahlen, Euler'sche Summenformel
8.6 Fourierreihen (Einführung in die Theorie)
8.7 Differenzierbare Kurven und ihre Geometrie
9 Metrische Räume und ihre Topologie
9.1 Grundbegriffe
9.2 Konvergenz, Cauchy-Folgen, Vollständigkeit
9.3 Stetigkeit, gleichmäßige Konvergenz, stetige Fortsetzbarkeit, Grenzwerte
9.4 Kompaktheit, stetige Funktionen auf kompakten Räumen
9.5 Wege, Zusammenhangsbegriffe
9.6 Der Satz von Stone-Weierstraß
10 Differenzialrechnung in mehreren Variablen
10.1 Partielle Ableitungen
10.2 Höhere partielle Ableitungen, Satz von Schwarz
10.3 (Totale) Differenzierbarkeit, Kettenregel
10.4 Differenzierbarkeit in C, Cauchy-Riemann'sche Differenzialgleichungen
10.5 Lokale Extremwerte, Taylor'sche Formel.
10.6 Der lokale Umkehrsatz
10.7 Der Satz über implizite Funktionen
10.8 Untermannigfaltigkeiten im Rn
10.9 Extrema unter Nebenbedingungen, Lagrange'sche Multiplikatoren
11 Integralrechnung in mehreren Variablen
11.1 Parameterabhängige und n-fache Integrale
11.2 Das Integral für stetige Funktionen mit kompaktem Träger
11.3 Fortsetzung des Integrals auf halbstetige Funktionen
11.4 Berechnung von Volumina einiger kompakter Mengen
11.5 Die Lebesgue-integrierbaren Funktionen
11.6 Die Grenzwertsätze von Beppo Levi und Lebesgue
11.7 Nullmengen und fast überall geltende Eigenschaften
11.8 Der Banachraum L1 und der Hilbertraum L2
11.9 Parameterabhängige Integrale, Fouriertransformierte
11.10 Die Transformationsformel für Lebesgue-integrierbare Funktionen
11.11 Integration über Untermannigfaltigkeiten im Rn
12 Vektorfelder, Kurvenintegrale, Integralsätze
12.1 Vektorfelder, Kurvenintegrale, 1-Formen
12.2 Die Integralsätze von Gauß und Stokes
Literaturverzeichnis
Symbolverzeichnis
Namen- und Sachverzeichnis
In einem konzisen Frage-Antworten-Stil werden die zentralen Begriffe und Beweise der Analysis wiederholt. Mehr noch als auf die Rechenfähigkeit (die sicherlich auch notwendig ist und nicht zu kurz kommt) wird dabei Wert auf das grundsätzliche Verständnis wichtiger Konzepte gelegt. Dem Autorenduo - einem Dozenten mit langjähriger Vorlesungs- und Prüfungserfahrung und einem Mathematikabsolventen - ist es sehr gut gelungen, mit der Auswahl der Fragen ein realistisches Bild davon zu vermitteln, was einen Studenten in der mündlichen Prüfung oder einer Klausur typischerweise erwartet.
Durch die Gliederung des Stoffes in einzelne Fragen eignet sich das Buch ausgezeichnet dazu, Wissen stichpunktartig zu trainieren und zu überprüfen; auch höhere Semester können davon profitieren, wenn sie schon einmal Gelerntes noch einmal gezielt nachschlagen wollen. Eine besondere Attraktion stellen die ca. 180 Abbildungen dar, die geometrische Sachverhalte veranschaulichen.
Inhaltsverzeichnis:
1 Die Systeme der reellen und komplexen Zahlen
1.1 Axiomatische Einführung der reellen Zahlen
1.2 Natürliche Zahlen und vollständige Induktion
1.3 Die ganzen und rationalen Zahlen
1.4 Der Körper der komplexen Zahlen
1.5 Die Standardvektorräume Rn und Cn
1.6 Einige wichtige Ungleichungen
2 Folgen reeller und komplexer Zahlen
2.1 Definitionen, Beispiele, grundlegende Feststellungen
2.2 Permanenzeigenschaften (Rechenregeln) für konvergente Folgen
2.3 Prinzipien der Konvergenztheorie
3 (Unendliche) Reihen
3.1 Definitionen und erste Beispiele
3.2 Konvergenzkriterien für reelle Reihen
3.3 Reihen mit beliebigen Gliedern - absolute Konvergenz
3.4 Umordnung von Reihen, Reihenprodukte
3.5 Elementares über Potenzreihen
3.6 Der große Umordnungssatz
4 Stetigkeit, Grenzwerte von Funktionen
4.1 Grundbegriffe
4.2 Stetigkeit
4.3 Grenzwerte bei Funktionen
5 Funktionenfolgen, Funktionenreihen, Potenzreihen
5.1 Punktweise und gleichmäßige Konvergenz
5.2 Potenzreihen
6 Elementare (transzendente) Funktionen
6.1 Die komplexe Exponentialfunktion
6.2 Die trigonometrischen Funktionen und die Hyperbelfunktionen
6.3 Natürlicher Loagrithmus und allgemeine Potenzen
6.4 Die Umkehrfunktionen der der trigonometrischen und hyperbolischen Funktionen
7 Grundlagen der Integral- und Differenzialrechnung
7.1 Das Integral für Treppenfunktionen und Regelfunktionen
7.2 Grundlagen der Differenzialrechnung
7.3 Der Hauptsatz der Differenzial- und Integralrechnung
7.4 Integrationstechniken
8 Anwendungen der Differenzial- und Integralrechnung
8.1 Taylor'sche Formel und Taylorreihen
8.2 Fixpunktiteration und Newton-Verfahren
8.3 Interpolation und einfache Quadraturformeln
8.4 Uneigentliche Integrale, T-Funktion
8.5 Bernoulli'sche Polynome und -Zahlen, Euler'sche Summenformel
8.6 Fourierreihen (Einführung in die Theorie)
8.7 Differenzierbare Kurven und ihre Geometrie
9 Metrische Räume und ihre Topologie
9.1 Grundbegriffe
9.2 Konvergenz, Cauchy-Folgen, Vollständigkeit
9.3 Stetigkeit, gleichmäßige Konvergenz, stetige Fortsetzbarkeit, Grenzwerte
9.4 Kompaktheit, stetige Funktionen auf kompakten Räumen
9.5 Wege, Zusammenhangsbegriffe
9.6 Der Satz von Stone-Weierstraß
10 Differenzialrechnung in mehreren Variablen
10.1 Partielle Ableitungen
10.2 Höhere partielle Ableitungen, Satz von Schwarz
10.3 (Totale) Differenzierbarkeit, Kettenregel
10.4 Differenzierbarkeit in C, Cauchy-Riemann'sche Differenzialgleichungen
10.5 Lokale Extremwerte, Taylor'sche Formel.
10.6 Der lokale Umkehrsatz
10.7 Der Satz über implizite Funktionen
10.8 Untermannigfaltigkeiten im Rn
10.9 Extrema unter Nebenbedingungen, Lagrange'sche Multiplikatoren
11 Integralrechnung in mehreren Variablen
11.1 Parameterabhängige und n-fache Integrale
11.2 Das Integral für stetige Funktionen mit kompaktem Träger
11.3 Fortsetzung des Integrals auf halbstetige Funktionen
11.4 Berechnung von Volumina einiger kompakter Mengen
11.5 Die Lebesgue-integrierbaren Funktionen
11.6 Die Grenzwertsätze von Beppo Levi und Lebesgue
11.7 Nullmengen und fast überall geltende Eigenschaften
11.8 Der Banachraum L1 und der Hilbertraum L2
11.9 Parameterabhängige Integrale, Fouriertransformierte
11.10 Die Transformationsformel für Lebesgue-integrierbare Funktionen
11.11 Integration über Untermannigfaltigkeiten im Rn
12 Vektorfelder, Kurvenintegrale, Integralsätze
12.1 Vektorfelder, Kurvenintegrale, 1-Formen
12.2 Die Integralsätze von Gauß und Stokes
Literaturverzeichnis
Symbolverzeichnis
Namen- und Sachverzeichnis
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