Simplifiez vos Lévy en titillant la factorisation de Wiener-Hopf
Thèse en théorie des probabilités sous la direction de Sonia Fourati
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Cette thèse est consacrée à la théorie des fluctuations des processus de Lévy, discipline qui consiste à observer les trajectoires en se focalisant plus précisément sur les extrema. L'outil central pour cela est la factorisation de Wiener-Hopf qui décompose l'exposant de Lévy en un produit de deux termes, les exposants d'échelle, l'un décrivant les maxima et l'autre les minima. Nous "titillons" la factorisation de Wiener-Hopf en l'inversant par Fourier et en exploitant son prolongement analytique. Cela nous permet de redémontrer divers résultats classiques (Théorèmes de Rogozin...
Cette thèse est consacrée à la théorie des fluctuations des processus de Lévy, discipline qui consiste à observer les trajectoires en se focalisant plus précisément sur les extrema. L'outil central pour cela est la factorisation de Wiener-Hopf qui décompose l'exposant de Lévy en un produit de deux termes, les exposants d'échelle, l'un décrivant les maxima et l'autre les minima. Nous "titillons" la factorisation de Wiener-Hopf en l'inversant par Fourier et en exploitant son prolongement analytique. Cela nous permet de redémontrer divers résultats classiques (Théorèmes de Rogozin, de Bertoin, de Kesten-Erickson) avec une méthode analytique simple. Par ce même chemin, nous aboutissons à un critère de reptation basé uniquement sur la mesure de Lévy (on dit qu'un processus de Lévy rampe vers le haut si, avec une probabilité non nulle, il peut franchir une altitude négative continûment). Ce résultat répond à une question restée ouverte pendant près de 30 ans. Dans la dernière partie de cette thèse, nous étudions le relief des trajectoires, qualifiant d'abruptes celles qui ont des dérivées finies à gauche et à droite des extrema locaux.
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