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Le but de ce livre est de présenter la théorie des solutions de viscosité pour les équations de Hamilton-Jacobi du premier ordre et ses applications aux problèmes de contrôle optimal déterministe et de perturbations singulières, en particulier du type Grandes Déviations. Il est principalement destiné aux étudiants de troisième cycle et aux chercheurs qui souhaitent se familiariser avec cette théorie mais il en fournit également un panorama assez complet pour les équations du premier ordre. La première partie du texte concerne les solutions continues et les propriétés de base de solutions de viscosité (stabilité, unicité, etc.). La deuxième partie décrit les méthodes plus sophistiquées liées aux solutions discontinues (méthode des semi-limites relaxées) et leurs applications.