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Hacemos un completo estudio de los principales resultados, fundamentales del Análisis Funcional, como son los Teoremas de extensión de funcionales de Hahn Banach para el caso real y complejo, el Teorema de la Acotación Uniforme, el Teorema de la Aplicación Abierta y del Gráfico Cerrado. Introducimos la noción de Conjunto Residual, Espacios de Baire y Completitud de espacios normados. Asimismo, introducimos nociones de Compactos por sucesiones, Totalmente acotado, el Teorema del número de Lebesgue y el Teorema de Cantor para finalmente obtener la caracterización de Compactos en espacios Métricos. También hacemos un estudio de las versiones geométricas del Teorema de Hahn Banach, Lema de Riesz, Teorema de Riesz, Topologías débil y débil y su comportamiento en espacios de dimensión infinita. Al estudiar estos resultados, damos pruebas interesantes y sutiles, poco comunes en algunos casos. Cabe resaltar que estos resultados para espacios normados, son la base para una generalización a espacios vectoriales topológicos y localmente convexos. Finalmente, queremos enfatizar la importancia de todos estos resultados en Análisis Funcional, Optimización, Economía, E.D.P, etc.