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Julgamos importante um estudo dos inteiros sem que os naturais possam ser vistos de modo único como imersos nele. Nesse estudo os inteiros se apresentam como um domínio simétrico, ou equilibrado, com centro zero, contendo dois ramos indiscerníveis, cada um equilibrado pelo outro e cada um em correspondência biunívoca com os naturais. Não damos preferência a nenhum dos ramos mantemos imparcialidade. A soma é definida por uma ideia de saldo e a simetria natural torna-se um automorfismo. Duas multiplicações surgem naturalmente, cada uma levada na outra pela simetria. Os endomorfismos dos inteiros com a estrutura dada pela soma, convenientemente estruturados recupera, neste estudo os inteiros como usualmente considerados. Depois de desenvolver essas ideias procuramos generalizá-las captando estruturas que antecedem, por assim dizer, ao aparecimento da soma e da simetria, sendo, na verdade, homogêneas. Cremos haver novidade no ponto de vista adotado, em certos resultados e nas generalizações.