Erster Band Integration und Differentiation der Funktionen einer Veränderlichen. Anwendungen. Numerische Methoden. Algebraische Gleichungen. Unendliche Reihen
Erster Band Integration und Differentiation der Funktionen einer Veränderlichen. Anwendungen. Numerische Methoden. Algebraische Gleichungen. Unendliche Reihen
IV wurf nicht erspart werden, daB sie zu lange gebraucht haben, urn diese Tat sache richtig zu erkennen und vor allem, urn die richtigen Konsequenzen daraus zu ziehen. Auch an den osterreichischen technischen Hochschulen, die hin sichtlich der Ausbildung ihrer Absolventen nieht nur in den praktischen, sondern vor allem auch in den theoretischen Fachern stets einen recht guten Ruf hatten, hat man in der Zeit zwischen den beiden Weltkriegen Zahl und AusmaB der rein praktischen Vorlesungen auf Kosten der theoretischen Facher immer mehr vergroBert. Das stand aber in direktem Gegensatz zu den…mehr
IV wurf nicht erspart werden, daB sie zu lange gebraucht haben, urn diese Tat sache richtig zu erkennen und vor allem, urn die richtigen Konsequenzen daraus zu ziehen. Auch an den osterreichischen technischen Hochschulen, die hin sichtlich der Ausbildung ihrer Absolventen nieht nur in den praktischen, sondern vor allem auch in den theoretischen Fachern stets einen recht guten Ruf hatten, hat man in der Zeit zwischen den beiden Weltkriegen Zahl und AusmaB der rein praktischen Vorlesungen auf Kosten der theoretischen Facher immer mehr vergroBert. Das stand aber in direktem Gegensatz zu den Erfordernissen der industriellen Praxis, und das Ergebnis war, daB die Industrie fUr die wissen schaftliche Arbeit in steigendem MaBe Universitatsabsolventen heranzog, weil sie eben auf die praktische Ausbildung eher verzichten konnte als auf die theo retische. Es war hochste Zeit, hier eineUmkehr einzuleiten, sollten die technischen Hochschulen nieht gegeniiber den Universitaten einerseits und den technischen Mittelschulen anderseits ilire Existenzberechtigung iiberhaupt verlieren. Die Wiener Hochschule hat jedenfaHs die Gelegenheit, die sich vor vier Jahren bot, geniitzt und eine weitgehende Reform des Studienplanes zugunsten der 'grundlegenden Facher durchgefUhrt; sie ist damit aus einer besseren Fachschule wieder eine wissenschaftliche Lehr-und Forschungsstatte geworden. Darin also besteht meine Rechtfertigung dafiir, daB ich diese Vorlesungen in Buchform herausgebe. Bei einem solchen Vorhaben ist natiirlich ein einwand freies Herausarbeiten der grundlegenden Begriffe ganz besonders geboten. Ich habe gesagt, daB der moderne Techniker ein guter Mathematiker sein muB.Hinweis: Dieser Artikel kann nur an eine deutsche Lieferadresse ausgeliefert werden.
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Inhaltsangabe
I. Zahlen und Zahlenfolgen.- 1. Der Zahlbegriff.- 2. Punkt- und Zahlenmengen.- 3. Folgen. Konvergenz und Grenzwert.- 4. Spezielle Zahlenfolgen.- 5. Kombinatorik.- II. Der Funktionsbegriff.- 6. Grundbegriffe und wichtigste Eigenschaften von Funktionen.- 7. Grenzwert und Stetigkeit.- 8. Stetige Funktionen und ihre Eigenschaften.- III. Integral und Ableitung..- 9. Flächeninhalt und bestimmtes Integral.- 10. Ergänzungen zum Integralbegriff.- 11. Die Ableitung oder der Differential quotient.- 12. Regeln und Sätze der Differentialrechnung. Extrema.- 13. Das unbestimmte Integral.- 14. Regeln und Methoden der Integralrechnung.- 15. Höhere Ableitungen.- IV. Die elementaren transzendenten Funktionen..- 16. Logarithmus und Exponentialfunktion.- 17. Die Kreisfunktionen und die zyklometrischen Funktionen.- 18. Die Hyperbelfunktionen und ihre Umkehrungen.- V. Ergänzungen zur Differential- und Integralrechnung.- 19. Die Parameterdarstellung einer Kurve. Vektoren in der Ebene.- 20. Unbestimmte Formen.- 21. Uneigentliche Integrale.- 22. Die Taylorsche Formel.- 23. Die Formeln von Wallis und Stirling.- 25. Die Bogenlänge einer Kurve.- 26. Weitere Anwendungen des Integralbegriffes in Geometrie und Mechanik.- 27. Numerische Integration.- 28. Die komplexen Zahlen.- VI. Polynome, algebraische Gleichungen und rationale Funktionen.- 29. Polynome oder ganze rationale Funktionen.- 30. Interpolation. Steigungen und Differenzen.- 31. Algebraische Gleichungen.- 32. Numerische Auflösung algebraischer Gleichungen.- 33. Die rationalen Funktionen und ihre Integration.- VII. Unendliche Reihen.- 34. Konvergenz und Divergenz der Reihen.- 35. Konvergenzkriterien.- 36. Reihen und Funktionen.- 37.Potenzreihen.- 38. Reihenentwicklung der elementaren Funktionen.- 39. Fouriersche Reihen.- Anhang. Lösungen der Aufgaben.- Namenverzeichnis (Biographische Notizen).
I. Grundbegriffe.- Differentiation der Funktionen von mehreren Veränderlichen.- 1. Ergänzungen aus der Lehre von den Punktmengen.- 1. Ebene Punktmengen.- 2. Der n-dimensionale Raum.- 3. Gebiet und Bereich.- 4. Die Fernpunkte des Gn.- 5. Der Inhalt einer Punktmenge.- 2. Funktionen mehrerer Variabler. Grenzwert und Stetigkeit.- 1. Der allgemeine Funktionsbegriff.- 2. Beispiele.- 3. Zwei- und dreireihige Determinanten.- 4. Der Grenzwert einer Funktion.- 5. Stetige Funktionen.- 6. Die Randwerte einer Funktion.- 7. Zusammengesetzte Funktionen.- 3. Differentiation der Funktionen von mehreren Veränderlichen.- 1. Die partiellen Ableitungen.- 2. Stetigkeit und Differenzierbarkeit.- 3. Der Satz von Schwarz.- 4. Das erste totale Differential einer Funktion von zwei Veränderlichen.- 5. Totale Differentiale im allgemeinen.- 6. Die Differentiation zusammengesetzter Funktionen und die Kettenregel.- 7. Implizite Funktionen.- 8. Zwei Gleichungen zwischen vier Veränderlichen.- 4. Homogene Funktionen.- 1. Definition und Beispiele.- 2. Die Eulereche Differentialgleichung der tetig differenzierbaren homogenen Funktionen.- 3. Binäre quadratische Formen.- 4. Die Hauptachsentransformation der Kegelschnitte.- 5. Die Taylorsche Formel.- 1. Herleitung der Taylorschen Formel.- 2. Der Mittelwertsatz.- 3. Das Taylorpolynom T 1 und die Tangentenebene einer Fläche.- 4. Verallgemeinerung des Newtonschen und des Iterationsverfahrens.- 5. Das Taylorpolynom Tr Die verschiedenen Arten der Punkte eineT 2. Die verschiedenen Arten der Punkte einer Fläche.- 6. Doppelfolgen und Doppelreihen.- 1. Doppelfolgen.- 2. Simultane und sukzessive Grenzübergänge bei stetigen Veränderlichen.- 3. Funktionenfolgen. Ein Satz von DINI.- 4. Doppelreihen.- 5. Potenzreihen in mehreren Veränderlichen.- 6. Taylorsche Reihen in mehreren Veränderlichen..- 7. Koordinatentransformation, Punkttransformation und Abbildung zweier Ebenen oder Räume.- 1. Die Abbildung zweier Ebenen und der Begriff der Koordinatentransfurmation.- 2. Die Punkttransformation oder Abbildung einer Ebene auf sich selbst.- 3. Die geometrische Bedeutung der Funktionaldeterminante.- 4. Abhängige Funktionen.- 5. Die analytische Darstellung der Kurven und Flächen im Raum..- 6. Transformation und Abbildung im Raum.- 7. Die affine Abbildung.- 8. Die projektive Abbildung.- 9. Elliptische oder Lamésche Koordinaten.- 10. Transformationsgruppen.- 11. Zur projektiven Geometrie.- 8. Ebene Kurven.- 1. Tangente, Normale und Berührungsgrößen.- 2. Asymptoten.- 3. Singuläre Punkte.- 4. Berührung von Kurven. Wendepunkte, Krümmungskreis und Scheitel.- 5. Die Krümmung einer Kurve.- 6. Hülkurven.- 7. Evolute und Evolvente.- 8. Spezielle Kurven.- 9. Bemerkungen zur Kurvendiskussion.- 9. Extrema von Funktionen mehrerer Variabler.- 1. Notwendige Bedingungen bei zwei unabhängigen Veränderlichen.- 2. Hinreichende Bedingungen.- 3. Funktionen von n unabhängigen Veränderlichen.- 4. Extrema unter einer Nebenbedingung.- 5. Extrema unter mehreren Nebenbedingungen.- 6. Die Methode der kleinsten Quadrate und die Approximation empirischer Funktionen.- 10. Grundbegriffe der Vektorrechnung.- 1. Punkte, Strecken und Vektoren.- 2. Addition und Subtraktion von Vektoren. Multiplikation eines Vektors mit einer Zahl.- 3. Länge eines Vektors.- 4. Linear abhängige und linear unabhängige Vektoren.- 5. Das innere oder skalare Produkt zweier Vektoren.- 6. Normierte Dreibeine und Maßvektoren.- 7. Das äußere oder vektorielle Produkt von zwei Vektoren.- 8. Geometrische Anwendungen.- 9. Der Schnitt von p Ebenen.- 10. Vektoren als Funktionen eines Parameters. Tangentenvektor einer Raumkurve.- 11. Tangentenebene und Normalenvektor einer Fläche.- 12. Die Richtungsablcitung einer Funktion.- 13. Vektoren in einer Ebene.- II. Die Integration der Funktionen von mehreren Veränderlichen.- 11. Integrale als Funktionen eines Parameters.- 1. Durch bestimmte Integrale dargestellte Funktionen.- 2. Differentiation unter dem Integralzeic
I. Zahlen und Zahlenfolgen.- 1. Der Zahlbegriff.- 2. Punkt- und Zahlenmengen.- 3. Folgen. Konvergenz und Grenzwert.- 4. Spezielle Zahlenfolgen.- 5. Kombinatorik.- II. Der Funktionsbegriff.- 6. Grundbegriffe und wichtigste Eigenschaften von Funktionen.- 7. Grenzwert und Stetigkeit.- 8. Stetige Funktionen und ihre Eigenschaften.- III. Integral und Ableitung..- 9. Flächeninhalt und bestimmtes Integral.- 10. Ergänzungen zum Integralbegriff.- 11. Die Ableitung oder der Differential quotient.- 12. Regeln und Sätze der Differentialrechnung. Extrema.- 13. Das unbestimmte Integral.- 14. Regeln und Methoden der Integralrechnung.- 15. Höhere Ableitungen.- IV. Die elementaren transzendenten Funktionen..- 16. Logarithmus und Exponentialfunktion.- 17. Die Kreisfunktionen und die zyklometrischen Funktionen.- 18. Die Hyperbelfunktionen und ihre Umkehrungen.- V. Ergänzungen zur Differential- und Integralrechnung.- 19. Die Parameterdarstellung einer Kurve. Vektoren in der Ebene.- 20. Unbestimmte Formen.- 21. Uneigentliche Integrale.- 22. Die Taylorsche Formel.- 23. Die Formeln von Wallis und Stirling.- 25. Die Bogenlänge einer Kurve.- 26. Weitere Anwendungen des Integralbegriffes in Geometrie und Mechanik.- 27. Numerische Integration.- 28. Die komplexen Zahlen.- VI. Polynome, algebraische Gleichungen und rationale Funktionen.- 29. Polynome oder ganze rationale Funktionen.- 30. Interpolation. Steigungen und Differenzen.- 31. Algebraische Gleichungen.- 32. Numerische Auflösung algebraischer Gleichungen.- 33. Die rationalen Funktionen und ihre Integration.- VII. Unendliche Reihen.- 34. Konvergenz und Divergenz der Reihen.- 35. Konvergenzkriterien.- 36. Reihen und Funktionen.- 37.Potenzreihen.- 38. Reihenentwicklung der elementaren Funktionen.- 39. Fouriersche Reihen.- Anhang. Lösungen der Aufgaben.- Namenverzeichnis (Biographische Notizen).
I. Grundbegriffe.- Differentiation der Funktionen von mehreren Veränderlichen.- 1. Ergänzungen aus der Lehre von den Punktmengen.- 1. Ebene Punktmengen.- 2. Der n-dimensionale Raum.- 3. Gebiet und Bereich.- 4. Die Fernpunkte des Gn.- 5. Der Inhalt einer Punktmenge.- 2. Funktionen mehrerer Variabler. Grenzwert und Stetigkeit.- 1. Der allgemeine Funktionsbegriff.- 2. Beispiele.- 3. Zwei- und dreireihige Determinanten.- 4. Der Grenzwert einer Funktion.- 5. Stetige Funktionen.- 6. Die Randwerte einer Funktion.- 7. Zusammengesetzte Funktionen.- 3. Differentiation der Funktionen von mehreren Veränderlichen.- 1. Die partiellen Ableitungen.- 2. Stetigkeit und Differenzierbarkeit.- 3. Der Satz von Schwarz.- 4. Das erste totale Differential einer Funktion von zwei Veränderlichen.- 5. Totale Differentiale im allgemeinen.- 6. Die Differentiation zusammengesetzter Funktionen und die Kettenregel.- 7. Implizite Funktionen.- 8. Zwei Gleichungen zwischen vier Veränderlichen.- 4. Homogene Funktionen.- 1. Definition und Beispiele.- 2. Die Eulereche Differentialgleichung der tetig differenzierbaren homogenen Funktionen.- 3. Binäre quadratische Formen.- 4. Die Hauptachsentransformation der Kegelschnitte.- 5. Die Taylorsche Formel.- 1. Herleitung der Taylorschen Formel.- 2. Der Mittelwertsatz.- 3. Das Taylorpolynom T 1 und die Tangentenebene einer Fläche.- 4. Verallgemeinerung des Newtonschen und des Iterationsverfahrens.- 5. Das Taylorpolynom Tr Die verschiedenen Arten der Punkte eineT 2. Die verschiedenen Arten der Punkte einer Fläche.- 6. Doppelfolgen und Doppelreihen.- 1. Doppelfolgen.- 2. Simultane und sukzessive Grenzübergänge bei stetigen Veränderlichen.- 3. Funktionenfolgen. Ein Satz von DINI.- 4. Doppelreihen.- 5. Potenzreihen in mehreren Veränderlichen.- 6. Taylorsche Reihen in mehreren Veränderlichen..- 7. Koordinatentransformation, Punkttransformation und Abbildung zweier Ebenen oder Räume.- 1. Die Abbildung zweier Ebenen und der Begriff der Koordinatentransfurmation.- 2. Die Punkttransformation oder Abbildung einer Ebene auf sich selbst.- 3. Die geometrische Bedeutung der Funktionaldeterminante.- 4. Abhängige Funktionen.- 5. Die analytische Darstellung der Kurven und Flächen im Raum..- 6. Transformation und Abbildung im Raum.- 7. Die affine Abbildung.- 8. Die projektive Abbildung.- 9. Elliptische oder Lamésche Koordinaten.- 10. Transformationsgruppen.- 11. Zur projektiven Geometrie.- 8. Ebene Kurven.- 1. Tangente, Normale und Berührungsgrößen.- 2. Asymptoten.- 3. Singuläre Punkte.- 4. Berührung von Kurven. Wendepunkte, Krümmungskreis und Scheitel.- 5. Die Krümmung einer Kurve.- 6. Hülkurven.- 7. Evolute und Evolvente.- 8. Spezielle Kurven.- 9. Bemerkungen zur Kurvendiskussion.- 9. Extrema von Funktionen mehrerer Variabler.- 1. Notwendige Bedingungen bei zwei unabhängigen Veränderlichen.- 2. Hinreichende Bedingungen.- 3. Funktionen von n unabhängigen Veränderlichen.- 4. Extrema unter einer Nebenbedingung.- 5. Extrema unter mehreren Nebenbedingungen.- 6. Die Methode der kleinsten Quadrate und die Approximation empirischer Funktionen.- 10. Grundbegriffe der Vektorrechnung.- 1. Punkte, Strecken und Vektoren.- 2. Addition und Subtraktion von Vektoren. Multiplikation eines Vektors mit einer Zahl.- 3. Länge eines Vektors.- 4. Linear abhängige und linear unabhängige Vektoren.- 5. Das innere oder skalare Produkt zweier Vektoren.- 6. Normierte Dreibeine und Maßvektoren.- 7. Das äußere oder vektorielle Produkt von zwei Vektoren.- 8. Geometrische Anwendungen.- 9. Der Schnitt von p Ebenen.- 10. Vektoren als Funktionen eines Parameters. Tangentenvektor einer Raumkurve.- 11. Tangentenebene und Normalenvektor einer Fläche.- 12. Die Richtungsablcitung einer Funktion.- 13. Vektoren in einer Ebene.- II. Die Integration der Funktionen von mehreren Veränderlichen.- 11. Integrale als Funktionen eines Parameters.- 1. Durch bestimmte Integrale dargestellte Funktionen.- 2. Differentiation unter dem Integralzeic
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