Die Zahlentheorie gehört zu den Bereichen der modernen Mathematik, die auch für Laien leicht zugänglich sind. Zwei international berühmte Experten führen Sie durch die faszinierende Welt der Zahlen. Sie zeigen Ihnen die unglaubliche Vielfalt der Zahlenwelt. Am Ende dieses aufregenden Buches werden Sie nicht nur die Primzahlen schätzen gelernt haben und sich für Bruchzahlen begeistern, sondern Sie werden sich imaginäre Zahlen vorstellen können und den unendlichen Zahlen nachsinnen. Die anregende Zahlentour beginnt mit einer Darstellung der griechischen, römischen und ägyptischen Zahlensysteme. Von dort geht es zu den Dreieckszahlen, den Pyramidenzahlen, zu den komplexen, transzendenten und schließlich den unendlich großen und unendlich kleinen Zahlen.
Semester, Siesta und Samt sind zwar nicht eins, aber sie alle sind im Garten der Zahlen gewachsen
Das Schlimmste zuerst: Das Papier dieses Bandes ist so dick und starr, daß es einem das Lesen verleidet. Beim Umblättern denkt man jedesmal, man hätte versehentlich zu viele Seiten erwischt. Bei einem teuren gebundenen Buch, das man sich selbst zum persönlichen Lesevergnügen kaufen muß, ist ein solcher handwerklicher Mißgriff schwer zu entschuldigen. Wir wollen dem Verlag ja gar nicht vorwerfen, daß er Umfang vortäuschen will; der Grund für die Wahl der Papiersorte war vielleicht, daß das Werk ungewöhnlich viele farbige Graphiken enthält. Diese sind aber so bonbonbunt, und der 3D-Effekt ist so schlecht, daß man sich noch zusätzlich ärgert.
Ansonsten kann man "Zahlenzauber" von John H. Conway und Richard K. Guy uneingeschränkt empfehlen. Die Frage ist nur, wem. Gedacht ist es wohl für Laien und für Fachleute, die sich außerhalb ihres Spezialgebiets schnell über etwas informieren wollen. Der Klappentext preist die "außergewöhnlich zugängliche und elegante Form". Dem wollen wir auch nicht widersprechen. Die Darstellung ist nicht technisch. Im Index sucht man sogar vergeblich nach Begriffen wie Gruppe, Ring oder Körper, die in der ersten Woche des ersten Semesters Mathematik definiert werden. Andererseits wird man auch mit Stoff konfrontiert, dem der durchschnittliche Studienrat für Mathematik an der Universität nie begegnet ist. Der Neuling, der alles verstehen möchte, worüber die Autoren berichten, wird einige Monate lang keine Zeit zum Fernsehen haben.
Was ist "Zahlenzauber"? Es gibt in der Mathematik keine allgemeinverbindliche Definition des Begriffs "Zahl". Es geht einem da ähnlich wie einem gewissen amerikanischen Politiker mit der Pornographie: Man erkennt eine Zahl, wenn man sie sieht. Conway und Guy führen uns viele verschiedene Zahlen wie im Varieté vor. Dabei handelt es sich sowohl um komplette Zahlenarten wie die Quaternionen oder die Cantorschen Ordinalzahlen als auch um spezielle Mengen, wie zum Beispiel die "Gregoryschen Zahlen", die für die Berechnung der Kreiszahl
Es ist ein weitverbreitetes Mißverständnis, daß Mathematiker ständig etwas ausrechnen. Wenn man einem Fremden auf einer Party gesteht, daß man Mathematiker ist, dann assoziiert dieser in der Regel etwas wie "a² + b² = c²" oder - noch peinlicher - "E = mc²". Vermutlich bringt die Schulmathematik die Leute auf solche Ideen. Eine Identität ist eben leichter zu verstehen als eine abstrakte Aussage aus der Topologie. Deshalb traktiert man unsere Schüler mit Gleichungen. Nichtsdestoweniger beschäftigt sich ein wichtiger Teil - aber eben nur ein Teil - der Mathematik durchaus mit Rechnungen. Und in dem vorliegenden Buch werden viele der interessantesten Rechnungen vorgeführt.
Zähle die Sprachspiele.
Zu den Zahlen gehört auch deren Geschichte. Es gibt viele ahistorische Bücher über Mathematik, die die Resultate darstellen, ohne darauf einzugehen, wie die Menschheit darauf gekommen ist. Es gibt andere Bücher, die sich nur mit Mathematikgeschichte befassen. Hybride Formen sind selten. Das vorliegende Werk gehört dazu. Es beginnt mit umfassenden linguistischen Bemerkungen über die Zahlwörter und über die Zahlensysteme der Vergangenheit und der Gegenwart. Hätten Sie gewußt, daß die Zahl Sechs sprachlich auch in Semester, Siesta und Samt steckt? Man staunt über die Belesenheit der Autoren. (Nebenbei bemerkt: Der Übersetzer hatte es nicht leicht, weil er spezifisch englische Sprachspiele in unsere Sprache übertragen mußte. Es ist ihm aber gut gelungen. Der Text ist flüssig und frei von Unbeholfenheiten.) Die Fidschi-Insulaner haben verschiedene Zahlwörter für zehn Kokosnüsse und zehn Boote. Im Japanischen bedeutet das Wort "shunsoku" für 10 (-16) "ein kurzer Augenblick des Luftholens".
Der Garten der Zahlen enthält viele seltsame Gewächse, die längst nicht alle von Conway und Guy gepflückt werden. Erstaunlicherweise reichen bereits die ganzen Zahlen aus, um einen Großteil der betrachteten Gesetzmäßigkeiten zu formulieren. Wie in der Bildhauerei kommt es eben weniger auf das Rohmaterial als auf die schöpferischen Fähigkeiten an. Dennoch benötigen wir darüber hinaus Größen wie ¿,
Die reellen Zahlen, das heißt die nicht notwendig periodischen Dezimalzahlen wie
Als Lösung von Gleichungen wie x² + 1 = 0 und x² + x + 1 = 0 erhält man die imaginären und die komplexen Zahlen. An diesen ist nichts imaginär oder komplex. Es sind einfach definierte Objekte, mit denen man gut rechnen kann und die sich für Anwendungen wie die Quantenmechanik als nützlich herausgestellt haben.
Die Zahlen 1, 2, 3, 4, . . . haben zwei Funktionen. Einerseits bezeichnet man mit ihnen die Anzahl der Elemente einer endlichen Menge. ("Das Buch hat 346 Seiten.") Andererseits verwendet man sie, um die Position eines Elements in einer geordneten Menge zu beschreiben. ("Auf Seite 129 ist das Bild einer Sonnenblume.") Man unterscheidet deshalb Kardinal- und Ordinalzahlen. Im Lateinischen gibt es darum sowohl unus, duo, tres, . . . (Kardinalzahlen) als auch primus, secundus, tertius (Ordinalzahlen). Bei unendlichen Mengen ist der Unterschied zwischen den beiden Zahlenarten deutlicher ausgeprägt. Die entsprechenden Konstruktionen sind über hundert Jahre alt und stammen von Georg Cantor, dem Vater der Mengenlehre. Man kann sie mit einiger Mühe sogar verstehen.
Wenn man die Lücken zwischen den Ordinalzahlen so ausfüllen will, wie man die Lücken zwischen den ganzen Zahlen mit den reellen Zahlen ausgefüllt hat, kommt man zu den merkwürdigen "surrealen Zahlen" die, wie Professor Galetti über das Schwein bemerkt hat, ihren Namen zu Recht tragen. Autor Conway hat sie in den siebziger Jahren höchstpersönlich erfunden, und man gönnt es ihm deshalb, daß er sie ausführlich beschreibt. Um zu entscheiden, ob zwei surreale Zahlen den gleichen Wert haben, muß man das Spiel "Hackenbush" spielen, bei dem (wer hätte das gedacht?) Büsche zerhackt werden. Aber nur die hartgesottensten Leser werden so weit kommen. ERNST HORST.
John H. Conway, Richard K. Guy: "Zahlenzauber". Von natürlichen, imaginären und anderen Zahlen. Aus dem Amerikanischen von Manfred Stern. Birkhäuser Verlag, Basel 1997. 346 S., 273 Abb., geb., 58,- DM.
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