The author, G. J. Chaitin, shows that God plays dice not only in quantum mechanics but also in the foundations of mathematics. According to Chaitin there exist mathematical facts that are true for no reason. This fascinating and provocative text contains a collection of his most wide-ranging and non-technical lectures and interviews. It will be of interest to anyone concerned with the philosophy of mathematics, the similarities and differences between physics and mathematics, and mathematics as art.
Dieser Download kann aus rechtlichen Gründen nur mit Rechnungsadresse in A, B, BG, CY, CZ, D, DK, EW, E, FIN, F, GR, HR, H, IRL, I, LT, L, LR, M, NL, PL, P, R, S, SLO, SK ausgeliefert werden.
Liebesgeschichte zwischen Hirn und Computer: Der Mathematiker Gregory Chaitin kennt die Grenzen des Berechenbaren
Gemessen am strengen Maßstab von Paul Valérys Brief über "Leonardo und die Philosophen", demzufolge man vom Ruhm eines wirklich bedeutenden Menschen verlangen können muß, daß es möglich sei, "an sein Verdienst in ein paar Worten zu erinnern", ist der Mathematiker Gregory Chaitin ein unter Kollegen zu Recht vielgerühmter Mann. Denn man kann in ein paar Worten sagen, daß Chaitin sich lebenslänglich damit beschäftigt hat, ob man etwas in ein paar Worten sagen kann oder eben nicht.
Der vorangegangene Satz ist nur sehr vage selbstbezüglich und daher erheblich harmloser als die Sorte Paradoxa, aus denen Chaitin wie sein großer Vorgänger, der metamathematische Logiker Kurt Gödel, auf beunruhigende Eigenschaften der Grundlagen der Mathematik geschlossen hat. Gödels "Unvollständigkeitssätze" aus dem Jahre 1931 zeigten auf der Basis von formalen Kalkülen, daß ein arithmetisches Axiomensystem und darüberhinaus jede logische Formalsprache niemals zugleich vollständig und widerspruchsfrei sein kann, man also entweder nicht alle in einer basalen Logiksprache formulierbaren Sätze beweisen kann oder auch falsche. Die intuitiv durch "Heraustreten" aus dem Aussagenkontext erfaßbare "Absurdität" von Sätzen wie "Diese Aussage ist nicht richtig", war Gödels Schlüsseleinsicht. Gregory Chaitins während der sechziger Jahre im Teenageralter entwickelte "algorithmische Informationstheorie" bediente sich ganz ähnlicher logischer Stolpersteine, die bei ihm allerdings eher dem von Bertrand Russel bekanntgemachten "Berry-Paradox" nachgebildet waren, welches "die erste positive ganze Zahl, die dieser Satz nicht nennen kann", betrifft.
Chaitin, den Probleme des scheinbar oder wirklich Zufälligen (etwa bei der Primzahlverteilung) und des Nichtberechenbaren seit seiner ersten Berührung mit der mathematischen Literatur beschäftigt haben, fragte sich früh, ob der wahre Grund für die Gödelsche Unvollständigkeit nicht eine prinzipiellere Sorte Unvorhersagbarkeit des Beweisbaren sein mochte. Seine Grundidee war die Vorstellung von Beweisverfahren als unterschiedlich komplexen Algorithmen, also computerprogrammartigen Schritt-für-Schritt-Rechenanweisungen, und weiter der Gedanke, man könne "Zufälligkeit" einfach als "Irreduzibilität" definieren: Zufällig (nicht weiter erklärbar) ist jedes Ding, das nicht auf Beschreibungen reduziert werden kann, die weniger komplex sind als es selbst.
So machte sich Chaitin daran, das Berry-Paradox zu formalisieren und befaßte sich mit "der kleinsten Zahl, die nicht von einem Programm der Komplexität N berechnet werden kann." Neben einer komplizierten Liebesgeschichte zwischen Chaitins Hirn und Computerprogrammen der LISP-Familie (eine besondere Variante listenverwaltender Programmiersprachen) kam dabei vor allem die beunruhigende, vom Computerpionier Alan Turing bereits in rudimentärer Form vorgezeichnete Wahrheit heraus, daß kein Programm der Komplexität N jemals eine Zahl berechnen kann, die komplexer ist als es selbst, und es außerdem keine Möglichkeit gibt, sich zu versichern, daß ein gegebenes Programm das beste (konziseste, oder wie Chaitin sagt: eleganteste) ist, das ein bestimmtes Arrangement von Ausgabedaten produziert. Manche Wahrheiten, heißt das, sind aus so vielen verschiedenen denkbaren Gründen wahr, daß man ihre Wahrheit im Grunde "zufällig" nennen kann - ein herber Schlag für alle, die Wissenschaft mit der Verwaltung von Unbezweifelbarkeiten verwechseln.
In seinem neuen Buch "Conversations with a Mathematician", das kurzweilige Vorträge, Fernsehinterviews, autobiographische Skizzen und polemische Bonmots aus den letzten zwölf Jahren enthält, macht Chaitin seine Forschungen genau zu einem Zeitpunkt transparent, da sich die zuerst vom Physiker John Archibald Wheeler geäußerte Forderung, alle exakten Naturwissenschaften stünden vor der großen "Hausaufgabe", schrittweise "informatisch zu werden", an den verschiedensten Fronten von der Computerüber die Kognitions- bis zur physikalischen Forschung konkretisiert. Das Verlassen der überkommenen Begrifflichkeiten von Materie, Energie, Feld und so weiter, zugunsten von Theorien, in denen "Informationsfluß und -verarbeitung die Struktur des Universums bestimmt" (David Deutsch), wird nicht bruchlos vonstatten gehen und neben großen Fortschritten des Simulations- und Vorhersagevermögens auch ein paar metawissenschaftliche, epistemologische oder gar metaphysische Fehltritte mit sich bringen.
Im Ganzen aber erinnert der Prozeß an eine andere, die messenden und vorhersagenden Disziplinen scheinbar nicht berührende, weil mathematikimmanente Angelegenheit, die erst rund hundert Jahre zurückliegt. Chaitin weiß natürlich von ihr und erinnert in seinen hier versammelten Stellungnahmen immer wieder an den berühmten "Hausaufgabenvortrag" des großen deutschen Mathematikers David Hilbert vor dem Zweiten Internationalen Mathematikerkongreß in Paris im Jahre 1900. Hilbert hatte damals mit im Nachhinein nahezu unfaßbarer Treffsicherheit und atemberaubendem Weitblick dreiundzwanzig Probleme benannt, die das mathematische Denken im darauffolgenden Jahrhundert wesentlich beschäftigen sollten; die Suche nach Widerspruchsfreiheit der Arithmetik, deren Vergeblichkeit Gödel 1931 aufwies, war dabei nur eines, nämlich das berühmte "zweite Hilbertsche Problem".
Chaitin sieht im Hilbertschen Programm formaler axiomatischer Systeme im Nachhinein einen Fehlschlag, der den Weg zu erstaunlichen Erfolgen wies: Daß man herausfand, daß das, was Hilbert wollte, nicht möglich ist, war zumindest für die Entwicklung der Computer keineswegs ein Hemmnis, weil der Weg zu diesem Nachweis und alles weitere, das von dort aus bis zu Chaitins algorithmischer Informationstheorie und anderen Komplexitätstheorien der Gegenwart führte, von ganz besonderen Gewächsen geschmückt war und ist: "Formalisierung ist der größte Erfolg des Jahrhunderts. Wenn man sich die Arbeit der Logiker am Beginn des zwanzigsten Jahrhunderts anschaut, sieht man, daß sie zwar über formale Sprachen als Mittel des Denkens und Schlußfolgerns sprachen, um die Mathematik und die symbolische Logik voranzubringen, dabei aber ganz nebenbei die ersten Formen von Programmiersprachen erfanden. Und das sind die Formalismen, mit denen wir heute leben und arbeiten!" Hilberts Verlangen nach "schärferen Werkzeugen" ist also in Chaitins Sicht, die den Weg zum Ziel macht und Hilbert damit gleichsam auf den Kopf (oder die Füße?) stellt, letztlich gestillt worden, auch wenn Hilbert nicht wissen konnte, daß diese Werkzeuge "Computer" heißen würden.
Vielleicht haben Physiker wie Max Tegmark recht, die glauben, das jede Struktur der Mathematik auch eine physikalische Entsprechung hat und wir Menschen eine Unterstruktur dieses mathematischen Multiversums bewohnen, die komplex genug ist, selbsterkennende Substrukturen zu enthalten, also solche, die subjektiv das Empfinden haben, in einer "physikalisch realen" Welt zu leben.
Was es bedeutet, diese Komplexitätsfrage zu formalisieren und der mathematisch-physikalischen Realität des computing von heute und morgen anzupassen, ist eine Frage, die sich derzeit nicht nur Chaitin stellt. Im Literaturverzeichnis der "Conversations" an letzter Stelle nennt Chaitin ein in diesen Tagen erscheinendes Buch des Programmierers und Pioniers sogenannter zellulärer Automaten, Stephen Wolfram, dessen Titel "eine neue Art Wissenschaft" verheißt und an dem Wolfram zwanzig Jahre lang gearbeitet hat. Chaitin bemerkt in für ihn charakteristisch listigem Tonfall, es gebe zwischen Wolfram und ihm zwar zahlreiche Berührungspunkte, aber auch bedeutende Meinungsverschiedenheiten. Nicht ohne leise Skepsis schreibt er, Wolframs Buch verzichte zwar auf Gleichungen, enthalte aber "viele, viele Illustrationen". Daß Chaitin sein sehr unterhaltsames, einem Laienpublikum absolut zugängliches "Conversations"-Buch mit dieser ironischen Note abschließt, die dennoch bekräftigt, daß außer ihm auch andere das Gebot der Stunde erkannt haben, ist eine im Wissenschaftsalltag ungewöhnliche schriftstellerische Geste - und verrät einmal mehr, daß, wer dem gewundenen Pfad des Informationsflusses zu folgen gelernt hat, nicht nur von Stringenz, sondern auch von Finten und Tricks der Kommunikation etwas versteht.
DIETMAR DATH.
Gregory J. Chaitin: "Conversations with a Mathematician". Math, Art, Science and The Limits of Reason. Springer Verlag, Berlin, Heidelberg, New York 2002. VII, 158 S., geb., 24,95 [Euro].
Alle Rechte vorbehalten. © F.A.Z. GmbH, Frankfurt am Main
From the reviews of the first edition: MATHEMATICAL REVIEWS "This is not a standard, pedagogical book of mathematical popularization, but a provocative, intelligent, engaging and fun to read piece of work. The author's love of mathematics is almost 'infectious'. The text written in Chaitin's unmistakable writing style, is full if ideas, 'bubbly like champagne', but not light." MAA ONLINE "...a collection of three lectures and six interviews originally given between 1989 and 2001. What emerges from this somewhat disparate set of transcripts is a surprising coherent picture of Chaitin and his work. While there is the inevitable repetition of ideas, stories, examples, in the end that very repetition helps to leave the reader with the impression of having become acquainted with Chaitin himself. One way we know our friends is by knowing their important stories...[The book] fills the gap left by Chaitin's other works by providing a highly engaging and readable account of his explorations into randomness in the foundations of mathematics." AMERICAN MATHEMATICAL MONTHLY "The book is a collection of non-technical lectures by, and interviews of, the mathematician Gregory J. Chaitin. His style in both of these settings is extremely clear and personable. What also emerges clearly is the joy he finds in his work, along with positive attitudes towards findings that have been interpreted by some as negative, even disturbing...Throughout the book he paraphrases his ideas in many well-written and beautiful passages...I learned a lot of mathematics from reading this book. I gained some insights about Godel's work and some much-needed feeling for computer science...This book is wonderful in both senses of the word: superlatively good and full of wonder. Nonmathematicians could read it, too, but as I read it, I felt glad (and proud) to be a mathematician!" CONVERSATIONS WITH A MATHEMATICIAN fills the gap left by Chaitin's other works by providing a highly engaging and readable account of his explorations into randomness in the foundations of mathematics. Those who want details are given enough pointers to find them. -MAA ONLINE The author has shown that God plays dice not only in quantum mechanics, but even in the foundations of mathematics, where Chaitin discovered mathematical facts that are true for no reason, that are true by accident. This book collects his most wide-ranging and non-technical lectures and interviews, and it will be of interest to anyone concerned with the philosophy of mathematics, with the similarities and differences between physics and mathematics, or with the creative process and mathematics as an art. "(Chaitin is) one of the great ideas men of mathematics and computer science." - Marcus Chown, author of The Magic Furnace, in NEW SCIENTIST "Finding the right formalization is a large component of the art of doing great mathematics." - John Casti, author of Mathematical Mountaintops, on Godel, Turing and Chaitin in NATURE "What mathematicians over the centuries - from the ancients, through Pascal, Fermat, Bernoulli, and de Moivre, to Kolmogorov and Chaitin - have discovered, is that it - randomness - is a profoundly rich concept." - Jerrold W. Grossman in the MATHEMATICAL INTELLIGENCER "Conversations with a Mathematician brings together three of Chaitin's public lectures and a number of TV and newspaper interviews ... . It is a perfect place to start for anyone unfamiliar with the kinds of problems Chaitin addresses. The lecture is at once both fascinating and breezy, both informative and fun. ... mathematicians, logicians, and information theorists, can find something worthwhile in this collection. It's fun for everybody ... ." (George Englebretsen, The Review of Modern Logic, Vol. 9 (3-4), 2004)