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En la mayoría de modelos matemáticos de los diferentes fenómenos de la naturaleza y la sociedad surgen ecuaciones diferenciales en las cuales la función incógnita depende de varias variables. Naturalmente, estas ecuaciones comprenden ecuaciones diferenciales en derivadas parciales, que tienen un gran espectro de aplicaciones. Al desarrollo de ellas han aportado todas las ramas de la matemática moderna tales como el cálculo, el álgebra, la geometría, el análisis funcional, la topología, la teoría de variable compleja y, esencialmente, la teoría de los espacios funcionales de dimensión infinita.…mehr
En la mayoría de modelos matemáticos de los diferentes fenómenos de la naturaleza y la sociedad surgen ecuaciones diferenciales en las cuales la función incógnita depende de varias variables. Naturalmente, estas ecuaciones comprenden ecuaciones diferenciales en derivadas parciales, que tienen un gran espectro de aplicaciones. Al desarrollo de ellas han aportado todas las ramas de la matemática moderna tales como el cálculo, el álgebra, la geometría, el análisis funcional, la topología, la teoría de variable compleja y, esencialmente, la teoría de los espacios funcionales de dimensión infinita. Como casi todos los procesos físicos se describen por medio de ecuaciones diferenciales en derivadas parciales, tales ecuaciones se llaman frecuentemente ecuaciones de la Física Matemática. Observemos que las ecuaciones diferenciales parciales describen también fenómenos químicos, biológicos, económicos y otros. Este curso tiene como objetivo la presentación teórica de las ecuaciones básicas de la física matemática como las ecuaciones de Lagrange, Poisson y las de transmisión de calor y de onda; la deducción de las propiedades cualitativas de sus soluciones por el método de la transformada de Fourier, e igualmente el concepto de una solución generalizada en el sentido de los espacios de Sobolev. Se introduce el concepto de una solución generalizada y se discuten sus aplicaciones en varios problemas de contorno para la ecuación de Poisson que es una de las ecuaciones más importantes de la Física Matemática.
Introducción v 1 Algunos modelos matemáticos de los procesos físicos 1 1.1. Deducción de la ecuación de calor 1 1.2. Deducción de la ecuación de onda 6 1.3. El sentido físico de las condiciones de contorno 10 2 El sentido físico de una función generalizada, definición de la función 훿 de Dirac. El espacio de las funciones básicas 퐷 y el espacio de las funciones generalizadas 퐷′ 15 3 El problema de Cauchy para la ecuación de calor 23 3.1. El espacio de Schwartz S. La transformada de Fourier para las funciones de 푆, 퐿1 y 퐿2 23 3.2. Solución del problema de Cauchy para la ecuación de transmisión de calor con las funciones iniciales de S 30 4 El espacio de funciones generalizadas 푆 ′ . La transformada de Fourier en 푆 ′ . Teorema de convolución de dos funciones 풇(풙) ∈ 푺, 품(풙) ∈ 푪풃 33 5 Aplicación del teorema de convolución a la solución del problema de Cauchy para la ecuación de transmisión de calor 43 5.1. Desarrollo del núcleo de Poisson 43 5.2. Propiedades del núcleo de Poisson: 퐺(푡, 푥) −−−→푡→0 훿(푥) 47 I II 6 Otras propiedades de las soluciones de la ecuación de calor 51 6.1. Solución del problema de Cauchy para la ecuación de transmisión de calor con una función inicial continua acotada 51 6.2. El problema de Cauchy para la ecuación de transmisión de calor no homogénea. El principio de Duhamel 55 6.3. Unicidad de la solución del problema de transmisión de calor y su dependencia continua de los datos iniciales 57 7 El problema de Cauchy para la ecuación de onda 67 7.1. La desigualdad energética y sus corolarios: la unicidad de la solución y su dependencia continua de los datos iniciales 67 7.2. Solución del problema para los datos iniciales de S 73 8 Algunos resultados de la teoría de las funciones generalizadas 77 8.1. La función 훿 concentrada en una esfera, su transformada de Fourier 77 8.2. Teorema de la convolución de una función de 푆 con una función generalizada de 푆 ′ con soporte compacto 80 9 Deducción de la fórmula de Kirchhoff para la solución del problema de Cauchy para la ecuación de onda en el caso de tres variables espaciales. Buena determinación del problema de Cauchy para la ecuación de onda 85 10 El principio de Duhamel para la ecuación de onda no homogénea. La función de Green del problema de Cauchy para la ecuación de onda. Propiedades cualitativas de la propagación de ondas. Velocidad finita de la propagación de ondas 95 11 Primeros conceptos de los espacios de Sobolev 103 11.1. Dos métodos diferentes de definir las soluciones generalizadas. Las derivadas generalizadas y sus propiedades básicas 103 III 11.2. El espacio de Sobolev 푊1 2 , su producto escalar y su completitud. Definición del espacio 푊푙 푝 111 12 Algunas propiedades de los espacios de Sobolev 117 12.1. El espacio de Sobolev 0 푊1 2 117 12.2. Dos normas diferentes en el espacio 0 푊1 2 (Ω). La desigualdad de Friedrichs 118 12.3. Las funciones medias y sus propiedades: suavidad infinita, convergencia en la norma de 퐿푝, conmutatividad de las operaciones de diferenciación y promediación 121 13 Los espacios 푊1 2 y 표 푊1 2 129 13.1. Propiedades de contorno de las funciones de 푊1 2 y de 표 푊1 2 . Un sencillísimo teorema de inclusión: traza de 푢 ∈ 푊1 2 (Ω) en la frontera ∂Ω como elemento de 퐿2(∂Ω) 129 13.2. La nulidad en promedio de las funciones de 표 푊1 2 (Ω) en la frontera ∂Ω. Integración por partes para las funciones de 푊1 2 (Ω) y de 표 푊1 2 (Ω) 133 14 Otras propiedades del espacio 푊1 2 141 14.1. La desigualdad de Poincaré 141 14.2. Compacidad de inclusión de un conjunto acotado de 푊1 2 (Ω) en 퐿2(Ω) 143 15 Algunos problemas de contorno 147 15.1. La solución generalizada para el primer problema de contorno de la ecuación de Poisson 147
Introducción v 1 Algunos modelos matemáticos de los procesos físicos 1 1.1. Deducción de la ecuación de calor 1 1.2. Deducción de la ecuación de onda 6 1.3. El sentido físico de las condiciones de contorno 10 2 El sentido físico de una función generalizada, definición de la función 훿 de Dirac. El espacio de las funciones básicas 퐷 y el espacio de las funciones generalizadas 퐷′ 15 3 El problema de Cauchy para la ecuación de calor 23 3.1. El espacio de Schwartz S. La transformada de Fourier para las funciones de 푆, 퐿1 y 퐿2 23 3.2. Solución del problema de Cauchy para la ecuación de transmisión de calor con las funciones iniciales de S 30 4 El espacio de funciones generalizadas 푆 ′ . La transformada de Fourier en 푆 ′ . Teorema de convolución de dos funciones 풇(풙) ∈ 푺, 품(풙) ∈ 푪풃 33 5 Aplicación del teorema de convolución a la solución del problema de Cauchy para la ecuación de transmisión de calor 43 5.1. Desarrollo del núcleo de Poisson 43 5.2. Propiedades del núcleo de Poisson: 퐺(푡, 푥) −−−→푡→0 훿(푥) 47 I II 6 Otras propiedades de las soluciones de la ecuación de calor 51 6.1. Solución del problema de Cauchy para la ecuación de transmisión de calor con una función inicial continua acotada 51 6.2. El problema de Cauchy para la ecuación de transmisión de calor no homogénea. El principio de Duhamel 55 6.3. Unicidad de la solución del problema de transmisión de calor y su dependencia continua de los datos iniciales 57 7 El problema de Cauchy para la ecuación de onda 67 7.1. La desigualdad energética y sus corolarios: la unicidad de la solución y su dependencia continua de los datos iniciales 67 7.2. Solución del problema para los datos iniciales de S 73 8 Algunos resultados de la teoría de las funciones generalizadas 77 8.1. La función 훿 concentrada en una esfera, su transformada de Fourier 77 8.2. Teorema de la convolución de una función de 푆 con una función generalizada de 푆 ′ con soporte compacto 80 9 Deducción de la fórmula de Kirchhoff para la solución del problema de Cauchy para la ecuación de onda en el caso de tres variables espaciales. Buena determinación del problema de Cauchy para la ecuación de onda 85 10 El principio de Duhamel para la ecuación de onda no homogénea. La función de Green del problema de Cauchy para la ecuación de onda. Propiedades cualitativas de la propagación de ondas. Velocidad finita de la propagación de ondas 95 11 Primeros conceptos de los espacios de Sobolev 103 11.1. Dos métodos diferentes de definir las soluciones generalizadas. Las derivadas generalizadas y sus propiedades básicas 103 III 11.2. El espacio de Sobolev 푊1 2 , su producto escalar y su completitud. Definición del espacio 푊푙 푝 111 12 Algunas propiedades de los espacios de Sobolev 117 12.1. El espacio de Sobolev 0 푊1 2 117 12.2. Dos normas diferentes en el espacio 0 푊1 2 (Ω). La desigualdad de Friedrichs 118 12.3. Las funciones medias y sus propiedades: suavidad infinita, convergencia en la norma de 퐿푝, conmutatividad de las operaciones de diferenciación y promediación 121 13 Los espacios 푊1 2 y 표 푊1 2 129 13.1. Propiedades de contorno de las funciones de 푊1 2 y de 표 푊1 2 . Un sencillísimo teorema de inclusión: traza de 푢 ∈ 푊1 2 (Ω) en la frontera ∂Ω como elemento de 퐿2(∂Ω) 129 13.2. La nulidad en promedio de las funciones de 표 푊1 2 (Ω) en la frontera ∂Ω. Integración por partes para las funciones de 푊1 2 (Ω) y de 표 푊1 2 (Ω) 133 14 Otras propiedades del espacio 푊1 2 141 14.1. La desigualdad de Poincaré 141 14.2. Compacidad de inclusión de un conjunto acotado de 푊1 2 (Ω) en 퐿2(Ω) 143 15 Algunos problemas de contorno 147 15.1. La solución generalizada para el primer problema de contorno de la ecuación de Poisson 147
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