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Inhaltsangabe
I. Die komplexen Zahlen.- 1. Arithmetische Einführung der komplexen Zahlen.- 2. Geometrische Darstellung der komplexen Zahlen.- 3. Folgen und Reihen im Komplexen.- 4. Exponentialfunktion und Logarithmus.- Übungsbeispiele.- II. Die differenzierharen Funktionen.- 1. Stetigkeit und. Differenzierbarkeit im Komplexen.- 2. Die Cauchy-Riemannschen Differentialgleichungen.- 3. Abbildung durch analytische Funktionen.- 4. Die linearen Funktionen.- Übungsbeispiele.- III. Potenzreihen.- 1. Der Konvergenzkreis.- 2. Gleichmäßige Konvergenz und Differenzierbarkeit.- 3. Der Abelsche Stetigkeitssatz.- Übungsbeispiele.- IV. Integrale im Komplexen.- 1. Rektifizierbare Kurven.- 2. Kurvenintegrale.- 3. Integrale von Funktionen.- Übungsbeispiele.- V. Der Satz von Cauchy.- 1. Der Beweis des Satzes nach Goursat.- 2. Die Cauchysche Formel.- 3. Darstellung der regulären Funktionen durch Potenzreihen.- 4. Koeffizientenabschätzungen.- 5. Einige Reihenentwicklungen.- 6. Inverse Funktionen.- 7. Darstellung von Funktionen durch Randwerte.- Übungsbeispiele.- VI. Isolierte Singularitiiten.- 1. Laurentsche Reihen.- 2. Funktionen im Kreisring.- 3. Pole und wesentlich singuläre Stellen.- 4. Das Residuum.- Übungsbeispiele.- VII. Reihen von Funktionen.- 1. Der Weierstraßsche Doppelreihensatz.- 2. Der Satz von Vitali.- 3. Unendliche Produkte.- 4. Partialbruchreihen.- 5. Der Satz von Mittag-Leffler.- Übungsbeispiele.- VIII. Analytische Fortsetzung.- 1. Analytisch aequivalente Funktionen.- 2. Die Riemannschen Flächen.- 3. Fortsetzung von Potenzreihen über den Rand des Konvergenzkreises.- Übungsbeispiele.- IX. Untersuchung spezieller Funktionen.- 1. Die konforme Abbildung zweier Gebiete.- 2.Die konforme Abbildung durch ein Polynom.- 3. Die periodischen Funktionen.- 4. Abbildung der Halbebene auf ein Dreieck.- 5. Die Eulerschen Integrale.- 6. Der Satz von Picard.- 7. Der Riemannsehe Abbildungssatz.- Übungsbeispiele.- X. Algebraische Funktionen und ihre Integrale.- 1. Implizite Funktionen.- 2. Algebraische Funktionen.- 3. Integrale von algebraischen Funktionen.- 4. Die elliptischen Gebilde.- 5. Die doppelperiodischen Funktionen.- 6. Der weitere Ausbau der Theorie.- Übungsbeispiele.
I. Die komplexen Zahlen.- 1. Arithmetische Einführung der komplexen Zahlen.- 2. Geometrische Darstellung der komplexen Zahlen.- 3. Folgen und Reihen im Komplexen.- 4. Exponentialfunktion und Logarithmus.- Übungsbeispiele.- II. Die differenzierharen Funktionen.- 1. Stetigkeit und. Differenzierbarkeit im Komplexen.- 2. Die Cauchy-Riemannschen Differentialgleichungen.- 3. Abbildung durch analytische Funktionen.- 4. Die linearen Funktionen.- Übungsbeispiele.- III. Potenzreihen.- 1. Der Konvergenzkreis.- 2. Gleichmäßige Konvergenz und Differenzierbarkeit.- 3. Der Abelsche Stetigkeitssatz.- Übungsbeispiele.- IV. Integrale im Komplexen.- 1. Rektifizierbare Kurven.- 2. Kurvenintegrale.- 3. Integrale von Funktionen.- Übungsbeispiele.- V. Der Satz von Cauchy.- 1. Der Beweis des Satzes nach Goursat.- 2. Die Cauchysche Formel.- 3. Darstellung der regulären Funktionen durch Potenzreihen.- 4. Koeffizientenabschätzungen.- 5. Einige Reihenentwicklungen.- 6. Inverse Funktionen.- 7. Darstellung von Funktionen durch Randwerte.- Übungsbeispiele.- VI. Isolierte Singularitiiten.- 1. Laurentsche Reihen.- 2. Funktionen im Kreisring.- 3. Pole und wesentlich singuläre Stellen.- 4. Das Residuum.- Übungsbeispiele.- VII. Reihen von Funktionen.- 1. Der Weierstraßsche Doppelreihensatz.- 2. Der Satz von Vitali.- 3. Unendliche Produkte.- 4. Partialbruchreihen.- 5. Der Satz von Mittag-Leffler.- Übungsbeispiele.- VIII. Analytische Fortsetzung.- 1. Analytisch aequivalente Funktionen.- 2. Die Riemannschen Flächen.- 3. Fortsetzung von Potenzreihen über den Rand des Konvergenzkreises.- Übungsbeispiele.- IX. Untersuchung spezieller Funktionen.- 1. Die konforme Abbildung zweier Gebiete.- 2.Die konforme Abbildung durch ein Polynom.- 3. Die periodischen Funktionen.- 4. Abbildung der Halbebene auf ein Dreieck.- 5. Die Eulerschen Integrale.- 6. Der Satz von Picard.- 7. Der Riemannsehe Abbildungssatz.- Übungsbeispiele.- X. Algebraische Funktionen und ihre Integrale.- 1. Implizite Funktionen.- 2. Algebraische Funktionen.- 3. Integrale von algebraischen Funktionen.- 4. Die elliptischen Gebilde.- 5. Die doppelperiodischen Funktionen.- 6. Der weitere Ausbau der Theorie.- Übungsbeispiele.
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