Joachim Weidmann Lineare Operatoren in Hilberträumen (eBook, PDF) Teil 1 Grundlagen
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Behandelt werden die Grundlagen der Theorie zum Thema Lineare Operatoren in Hilberträumen, wie sie üblicherweise in Standardvorlesungen für Mathematiker und Physiker vorgestellt werden.
1 Metrische Räume, normierte Räume und Hilberträume.- 1.1 Metrische und normierte Räume.- 1.2 Vektorräume mit Skalarprodukt (Prähilberträume).- 1.3 Konvergenz und Vollständigkeit.- 1.4 Lp-Räume.- 1.5 Orthogonalität.- 1.6 Tensorprodukte von Hilberträumen.- 1.7 Übungen.- 2 Lineare Operatoren und Funktionale.- 2.1 Beschränkte Operatoren.- 2.2 Stetige lineare Funktionale.- 2.3 Satz von der gleichmäßigen Beschränktheit, starke und schwache Konvergenz.- 2.4 Der adjungierte Operator.- 2.5 Orthogonale Projektionen, isometrische und unitäre Operatoren.- 2.6 Anhang zu Kapitel 2.- 2.7 Übungen.- 3 Kompakte Operatoren.- 3.1 Definition und grundlegende Eigenschaften.- 3.2 Entwicklungssätze.- 3.3 Hilbert-Schmidt-Operatoren.- 3.4 Die Schattenklassen kompakter Operatoren.- 3.5 Übungen.- 4 Abgeschlossene Operatoren.- 4.1 Satz vom abgeschlossenen Graphen.- 4.2 Halbbeschränkte Operatoren und Formen.- 4.3 Normale Operatoren.- 4.4 Komplexifizierung und Konjugation.- 4.5 Übungen.- 5 Spektraltheorie abgeschlossener Operatoren.- 5.1 Grundbegriffe der Spektraltheorie.- 5.2 Das Spektrum selbstadjungierter, symmetrischer und normaler Operatoren.- 5.3 Operatoren mit reinem Punktspektrum.- 5.4 Spektraltheorie allgemeiner kompakter Operatoren.- 5.5 Übungen.- 6 Klassen linearer Operatoren.- 6.1 Multiplikationsoperatoren.- 6.2 Matrixoperatoren.- 6.3 Integraloperatoren.- 6.4 Hilbert-Schmidt- und Carlemanoperatoren.- 6.5 Differentialoperatoren in L2(a, b).- 6.6 Übungen.- 7 Quantenmechanik und Hilbertraumtheorie.- 7.1 Formalismus der Quantenmechanik.- 7.2 Die Evolutionsgruppe und die Selbstadjungiertheit des Schrödin-geroperators.- 7.3 Übungen.- 8 Spektraltheorie selbstadjungierter Operatoren.- 8.1 Integrale bezüglich einer Spektralschar.- 8.2 Operatoren als Integrale überSpektralscharen.- 8.3 Der Spektralsatz für selbstadjungierte Operatoren.- 8.4 Funktionen selbstadjungierter Operatoren.- 8.5 Spektrum und Spektralschar.- 8.6 Halbordnung selbstadjungierter Operatoren.- 8.7 Übungen.- 9 Störungstheorie selbstadjungierter Operatoren.- 9.1 Störungen selbstadjungierter Operatoren.- 9.2 Stabilität des wesentlichen Spektrums.- 9.3 Norm- und starke Resolventenkonvergenz.- 9.4 Übungen.- 10 Selbstadjungierte Fortsetzungen symmetrischer Operatoren.- 10.1 Defektzahlen und Cayleytransformierte.- 10.2 Konstruktion selbstadjungierter Fortsetzungen.- 10.3 Kriterien für die Gleichheit der Defektzahlen.- 10.4 Spektren selbstadjungierter Fortsetzungen symmetrischer Operatoren.- 10.5 Übungen.- 11 Fouriertransformation und Differentialoperatoren.- 11.1 Fouriertransformation auf L1(?m) und S(?m).- 11.2 Fouriertransformation in L2(?m).- 11.3 Differentialoperatoren mit konstanten Koeffizienten.- 11.4 Elliptische Differentialoperatoren und Sobolev-Räume.- 11.5 Der Operator -? in L2(?m).- 11.6 Übungen.- A Einführung in die Lebesguesche Integrationstheorie.- A.1 Prämaße und Nullmengen.- A.2 Das Integral für Elementarfunktionen.- A.3 Integrierbare Funktionen.- A.4 Grenzwertsätze.- A.5 Meßbare Mengen und Funktionen, Maße.- A.6 Produktmaße; der Satz von Fubini-Tonelli.- A.7 Der Satz von Radon-Nikodym.- A.8 Absolut stetige Funktionen und partielle Integration.- A.9 Komplexe Maße.- A.10 Übungen.- B Die Stieltjessche Umkehrformel und ein Satz von G. Herglotz.- C Der Satz von Stone-Weierstraß.- Literatur.- Namen- und Sachverzeichnis.
