Ingolf Terveer

Mathematik für Wirtschaftswissenschaften (eBook, PDF)

mit über 300 Aufgaben und Online-Lösungen

• Format: PDF

Produktbeschreibung

Der wertvolle Begleiter durch das Studium Wer Wirtschaftswissenschaften studiert, muss fit in Mathematik sein. Dieses Buch hilft dabei. Es geht auf lineare, quadratische, rationale und spezielle Funktionen wie Exponential-, Logarithmus- oder trigonometrische Funktionen ein und erklärt Folgen sowie Reihen. Auch die Differential- und Integralrechnung stellt es vor, ebenso lineare Gleichungen und Optimierungen. Vektoren und Matrizen berücksichtigt es zudem. Zusammenfassungen, Aufgaben und Musterklausuren bereiten ideal auf die Prüfung vor. Neu: Das Buch schließt gleich zu Beginn Wissenslücken durch schulmathematische Grundlagen. Das Buch richtet sich an Studierende der Betriebs- und Volkswirtschaftslehre sowie Wirtschaftsinformatik. utb+: Zusätzlich zum Buch erhalten Leser:innen über 300 Lösungen zu den Aufgaben im Buch als digitales Bonusmaterial, um das Gelernte zu vertiefen und zur Prüfungsvorbereitung.

Produktdetails

• Verlag: UTB GmbH
• Seitenzahl: 505
• Erscheinungstermin: 25. September 2023
• Deutsch
• ISBN-13: 9783838588186
• Artikelnr.: 71188693

Autorenporträt

Dr. Ingolf Terveer ist Akademischer Oberrat am Institut für Wirtschaftsinformatik der Westfälischen Wilhelms-Universität Münster.

Inhaltsangabe

Vorwort 11 1 Einordnung und Grundlagen 15 Übersicht15 1.1 Einordnung15 1.2 Mengen18 1.2.1 Operationen mit Mengen21 1.2.2 Aussagen und Aussageformen22 1.3 Terme und Gleichungen26 1.3.1 Terme und Termumformungen26 1.3.2 Gleichungen und Ungleichungen27 2 Das Funktionskonzept 33 Übersicht33 2.1 Funktionen und Abbildungen34 2.2 Graphische Darstellung, Bild und Urbild37 2.3 Wachstums- und Krümmungseigenschaften von Funktionen42 2.3.1 Lage des Funktionsgraphen im Koordinatensystem42 2.3.2 Monotonieeigenschaften von Funktionen43 2.3.3 Krümmung von Funktionen43 2.4 Verkettung und Umkehrung von Funktionen46 2.5 Exkurs: Relationen49 Zusammenfassung50 3 Lineare Funktionen 51 Übersicht51 3.1 Normalform linearer Funktionen52 3.1.1 Interpretation des Faktors a der Normalform52 3.1.2 Interpretation des Summanden b der Normalform52 3.1.3 Nullstellen linearer Funktionen52 3.1.4 Bestimmung der Normalform einer linearen Funktion aus zwei Punkten53 3.2 Punkt-Steigungsform linearer Funktionen54 3.3 Koordinatenform linearer Funktionen54 3.4 Umkehrfunktion und Normale einer linearen Funktion55 3.4.1 Die Umkehrfunktion einer linearen Funktion55 3.4.2 Die Normale einer linearen Funktion56 3.5 Schnittpunkte linearer Funktionen57 3.6 Ökonomische Anwendungen linearer Funktionen58 Zusammenfassung60 4 Quadratische Funktionen 61 Übersicht61 4.1 Normalform quadratischer Funktionen61 4.2 Scheitelpunktform quadratischer Funktionen63 4.3 Nullstellen und Schnittpunkte quadratischer Funktionen65 4.4 Linearform quadratischer Funktionen67 4.5 Umkehrung quadratischer Funktionen68 4.6 Ökonomische Anwendungen quadratischer Funktionen69 4.6.1 Quadratische Gewinnfunktionen bei linearer Nachfragefunktion69 4.6.2 Modellierung von Nachfragesituationen durch quadratische Funktionen71 4.6.3 Kleinste-Quadrate-Methode73 Zusammenfassung74 5 Rationale Funktionen 75 Übersicht75 5.1 Potenzen und Monome76 5.2 Polynome und ganz-rationale Funktionen80 5.3 Teilbarkeit von Polynomen und Polynomdivision83 5.4 Nullstellen von Polynomen89 5.5 Interpolation durch Polynome92 5.6 Gebrochen-rationale Funktionen95 Zusammenfassung100 6 Spezielle Funktionen 101 Übersicht101 6.1 Exponentialfunktionen101 6.1.1 Die Schreibweise f(x) = ax für die Exponentialfunktion103 6.1.2 Das Monotonieverhalten der Exponentialfunktion103 6.1.3 Die Eulersche Exponentialfunktion104 6.2 Logarithmusfunktionen105 6.3 Potenzfunktionen108 6.4 Trigonometrische Funktionen110 6.4.1 Geometrische Festlegung der trigonometrischen Funktionen110 6.4.2 Rechenregeln für trigonometrische Funktionen115 6.4.3 Anwendungen trigonometrischer Funktionen116 6.5 Stückweise definierte Funktionen118 6.5.1 Die Betragsfunktion119 6.5.2 Exkurs: Die Indikatorfunktion121 Zusammenfassung122 7 Folgen und Reihen 125 Übersicht125 7.1 Folgen in der Ökonomie125 7.2 Explizite und implizite Folgen127 7.3 Konvergenz von Folgen132 7.3.1 Grenzwertbestimmung bei expliziten Folgen134 7.3.2 Grenzwertbestimmung bei impliziten Folgen139 7.3.3 Nachweismöglichkeiten für Konvergenz139 7.4 Summenfolgen und unendliche Reihen143 7.4.1 Summenfolgen143 7.4.2 Unendliche Reihen144 7.4.3 Potenzreihen148 7.4.4 Exkurs: Erzeugende Funktionen150 7.5 Exkurs: Gleichgewichte bei Marktpreisen152 7.6 Finanzmathematische Folgen und Reihen155 7.6.1 Zinseszinsrechnung155 7.6.2 Rentenrechnung156 7.6.3 Annuitätenrechnung157 7.6.4 Barwert und Endwert158 7.6.5 Kapitalwert160 Zusammenfassung161 8 Differentialrechnung in einer Variablen 163 8.1 Funktionsgrenzwerte163 8.1.1 Von Folgengrenzwerten zu Funktionsgrenzwerten163 8.1.2 Einseitige Funktionsgrenzwerte165 8.1.3 Methoden zur Bestimmung von Funktionsgrenzwerten166 8.1.4 Divergente und uneigentliche Grenzwerte169 8.1.5 Grenzwertverhalten gebrochen-rationaler Funktionen170 8.1.6 Asymptoten von Funktionen171 8.2 Stetige Funktionen173 8.3 Differenzierbare Funktionen177 8.3.1 Tangenten an Funktionsgraphen178 8.3.2 Ableitung als Grenzwert von Sekantensteigungen178 8.3.3 Die Ableitungsfunktion181 8.3.4 Ableitung und Linearisierung183 8.3.5 Mittelwertsatz184 8.3.6 Ableitungen höherer Ordnung184 8.4 Ableitungsregeln185 8.4.1 Faktorregel186 8.4.2 Summenregel187 8.4.3 Produktregel187 8.4.4 Quotientenregel187 8.4.5 Kettenregel188 8.4.6 Ableitung von Potenzreihen189 8.5 Ableitung und Funktionseigenschaften191 8.5.1 Ableitung erster Ordnung und Nullstellen192 8.5.2 Ableitung erster Ordnung und Monotonieverhalten193 8.5.3 Ableitung erster Ordnung und Regel von de l’Hospital195 8.5.4 Ableitungen erster Ordnung und Bedingungen für Extrema196 8.5.5 Ableitungen erster und zweiter Ordnung und lokale Extrema198 8.5.6 Ableitung zweiter Ordnung und Krümmungsverhalten201 8.5.7 Kurvendiskussionen und Funktionssteckbriefe203 8.6 Ökonomische Anwendungen der Differentialrechnung208 8.6.1 Optimaler Preis208 8.6.2 Gewinnmaximierung210 8.6.3 Elastizitäten211 8.6.4 Marginalanalyse214 8.6.5 Kostenminimierung215 Zusammenfassung218 9 Integralrechnung 219 9.1 Flächenintegrale und Stammfunktionen219 9.1.1 Stammfunktion220 9.1.2 Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung221 9.1.3 Flächenintegrale bei Funktionen mit Vorzeichenwechsel223 9.2 Numerische Berechnung von Flächenintegralen225 9.2.1 Numerische Integration mit der Trapezregel227 9.2.2 Numerische Integration mit der Simpson-Regel227 9.2.3 Exkurs: Das Lebesgue-Integral228 9.3 Integrationsregeln230 9.3.1 Faktorregel und Summenregel230 9.3.2 Partielle Integration232 9.3.3 Substitutionsregel234 9.4 Uneigentliche Integrale236 9.5 Exkurs: Konsumentenrente und Produzentenrente240 Zusammenfassung243 10 Lineare Gleichungssysteme 247 Übersicht247 10.1 Lineare Eingabe-Ausgabe-Beziehungen247 10.2 Das Gauß’sche Eliminationsverfahren251 10.2.1 Zeilenumformungen eines LGS252 10.2.2 Die Staffelform eines LGS253 10.2.3 Die Zeilenstufenform eines LGS256 Zusammenfassung258 11 Lineare Optimierung 259 Übersicht259 11.1 Probleme der linearen Optimierung259 11.1.1 Optimaler Verbrauch von Rohstoffen260 11.1.2 Transportprobleme260 11.1.3 Zuordnungsprobleme260 11.2 Standardform eines LOP261 11.3 Simplex-Algorithmus263 11.3.1 Beispiel mit einer freien Variable263 11.3.2 Simplex-Tableau264 11.3.3 Basiswechsel mit einer freien Variablen267 11.3.4 Basiswechsel mit mehreren freien Variablen269 11.3.5 Schematische Darstellung des Simplex-Verfahrens272 11.3.6 Diskussion des Verfahrens273 11.4 Zweiphasenmethode275 Zusammenfassung279 12 Vektoren 281 Übersicht281 12.1 Vektoren und Operationen mit Vektoren281 12.1.1 Elementare Operationen mit Vektoren283 12.1.2 Vektorräume285 12.2 Koordinatensysteme und Linearkombinationen287 12.3 Untervektorraum und Basis297 12.3.1 Gewinnung einer Basis aus einem Erzeugendensystem299 12.3.2 Gewinnung einer Basis zur Lösungsmenge eines homogenen linearen Gleichungssystems300 12.4 Vektorgeometrie303 12.5 Abstandsmessung, Projektionen und KQ-Methode309 Zusammenfassung318 13 Matrizen 319 Übersicht319 13.1 Matrix-Vektor-Verflechtungen319 13.2 Matrix-Matrix-Verflechtungen323 13.3 Quadratische Matrizen328 13.4 Determinanten333 13.4.1 Berechnung der Determinante mittels Zeilenumformungen335 13.4.2 Laplace-Entwicklungsformel für Determinanten337 13.4.3 Strategien zur Berechnung von Determinanten338 13.4.4 Anwendungen der Determinante340 13.5 Eigenwerte und Eigenvektoren341 13.5.1 Bestimmung von Eigenwerten und Eigenvektoren343 13.5.2 Eigenschaften von Eigenwerten und Eigenvektoren344 13.5.3 Eigenwerte bei symmetrischen Matrizen345 13.6 Definitheit von Matrizen348 13.6.1 Definitheit349 13.6.2 Definitheit unter Nebenbedingungen352 13.7 Exkurs: Anwendungen der Matrizenrechnung354 13.7.1 Input-Output-Analysen und Leontief-Modelle354 13.7.2 Übergangsmatrizen und Markoff-Ketten356 Zusammenfassung360 14 Differentialrechnung in mehreren Variablen 363 Übersicht363 14.1 Funktionen mehrerer Variablen364 14.1.1 Definitionsbereiche für Funktionen mehrerer Variablen364 14.1.2 Lineare und quadratische Funktionen mehrerer Variablen366 14.1.3 Grenzwerte von Funktionen mehrerer Variablen367 14.1.4 Grafische Darstellung368 14.2 Funktionen mehrerer Variablen in der Ökonomie370 14.2.1 Lineare Funktionen mehrerer Variablen in der Ökonomie370 14.2.2 Nachfragefunktionen in mehreren Variablen371 14.2.3 Produktionsfunktionen in mehreren Variablen373 14.2.4 Homogene Funktionen in der Ökonomie375 14.3 Ableitungskonzepte für Funktionen mehrerer Variablen377 14.3.1 Die partielle Ableitung378 14.3.2 Das Differential383 14.3.3 Ableitungsregeln für Funktionen mehrerer Variablen387 14.4 Ableitungskonzepte auf Grundlage des Differentials390 14.4.1 Richtungsableitung390 14.4.2 Elastizitäten395 14.4.3 Implizite Ableitungen und ihre Anwendungen396 14.5 Ableitungen zweiter Ordnung404 14.5.1 Die Hesse-Matrix405 14.5.2 Krümmung impliziter Funktionen407 14.5.3 Konvexe Funktionen409 14.6 Integrale für Funktionen mehrerer Variablen412 14.6.1 Volumenintegrale412 14.6.2 Integrationsregeln414 Zusammenfassung418 15 Optimierungsaufgaben 419 Übersicht419 15.1 Optimierungsaufgaben ohne Nebenbedingungen419 15.1.1 Bestimmung kritischer Punkte420 15.1.2 Hinreichende Bedingungen für lokale Extrema422 15.1.3 Optimierung konvexer Funktionen425 15.1.4 Numerische Optimierung mit dem Gradientenabstiegsverfahren428 15.1.5 Numerische Optimierung mit dem Newton-Verfahren429 15.2 Optimierung unter Nebenbedingungen431 15.2.1 Optimierung bei einer Nebenbedingung in Gleichungsform433 15.2.2 Optimierung unter Ungleichungsrestriktionen442 15.3 Hinreichende Bedingungen für Extrema449 15.3.1 Hinreichende Bedingungen für lokale Extrema unter Nebenbedingungen450 15.3.2 Nachweis der Optimalität durch Randwertvergleich454 15.3.3 Optimierung konvexer Funktionen unter Nebenbedingungen461 15.4 Komparative Statik465 15.4.1 Ein Verbrauchsproblem465 15.4.2 Das Envelope-Theorem467 15.4.3 Ein Kostenproblem470 15.4.4 Das Theorem impliziter Funktionen472 Zusammenfassung474 Übungsklausuren 475 Klausur 1475 Klausur 2477 Klausur 3479 Klausur 4481 Klausur 5483 Abbildungen 485 Tabellen 489 Symbole und Abkürzungen 491 Das griechische Alphabet 493 Literatur 495 Index 497

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Vorwort 111 Einordnung und Grundlagen 15Übersicht151.1 Einordnung151.2 Mengen181.2.1 Operationen mit Mengen211.2.2 Aussagen und Aussageformen221.3 Terme und Gleichungen261.3.1 Terme und Termumformungen261.3.2 Gleichungen und Ungleichungen272 Das Funktionskonzept 33Übersicht332.1 Funktionen und Abbildungen342.2 Graphische Darstellung, Bild und Urbild372.3 Wachstums- und Krümmungseigenschaften von Funktionen422.3.1 Lage des Funktionsgraphen im Koordinatensystem422.3.2 Monotonieeigenschaften von Funktionen432.3.3 Krümmung von Funktionen432.4 Verkettung und Umkehrung von Funktionen462.5 Exkurs: Relationen49Zusammenfassung503 Lineare Funktionen 51Übersicht513.1 Normalform linearer Funktionen523.1.1 Interpretation des Faktors a der Normalform523.1.2 Interpretation des Summanden b der Normalform523.1.3 Nullstellen linearer Funktionen523.1.4 Bestimmung der Normalform einer linearen Funktion aus zwei Punkten533.2 Punkt-Steigungsform linearer Funktionen543.3 Koordinatenform linearer Funktionen543.4 Umkehrfunktion und Normale einer linearen Funktion553.4.1 Die Umkehrfunktion einer linearen Funktion553.4.2 Die Normale einer linearen Funktion563.5 Schnittpunkte linearer Funktionen573.6 Ökonomische Anwendungen linearer Funktionen58Zusammenfassung604 Quadratische Funktionen 61Übersicht614.1 Normalform quadratischer Funktionen614.2 Scheitelpunktform quadratischer Funktionen634.3 Nullstellen und Schnittpunkte quadratischer Funktionen654.4 Linearform quadratischer Funktionen674.5 Umkehrung quadratischer Funktionen684.6 Ökonomische Anwendungen quadratischer Funktionen694.6.1 Quadratische Gewinnfunktionen bei linearer Nachfragefunktion694.6.2 Modellierung von Nachfragesituationen durch quadratische Funktionen714.6.3 Kleinste-Quadrate-Methode73Zusammenfassung745 Rationale Funktionen 75Übersicht755.1 Potenzen und Monome765.2 Polynome und ganz-rationale Funktionen805.3 Teilbarkeit von Polynomen und Polynomdivision835.4 Nullstellen von Polynomen895.5 Interpolation durch Polynome925.6 Gebrochen-rationale Funktionen95Zusammenfassung1006 Spezielle Funktionen 101Übersicht1016.1 Exponentialfunktionen1016.1.1 Die Schreibweise f(x) = ax für die Exponentialfunktion1036.1.2 Das Monotonieverhalten der Exponentialfunktion1036.1.3 Die Eulersche Exponentialfunktion1046.2 Logarithmusfunktionen1056.3 Potenzfunktionen1086.4 Trigonometrische Funktionen1106.4.1 Geometrische Festlegung der trigonometrischen Funktionen1106.4.2 Rechenregeln für trigonometrische Funktionen1156.4.3 Anwendungen trigonometrischer Funktionen1166.5 Stückweise definierte Funktionen1186.5.1 Die Betragsfunktion1196.5.2 Exkurs: Die Indikatorfunktion121Zusammenfassung1227 Folgen und Reihen 125Übersicht1257.1 Folgen in der Ökonomie1257.2 Explizite und implizite Folgen1277.3 Konvergenz von Folgen1327.3.1 Grenzwertbestimmung bei expliziten Folgen1347.3.2 Grenzwertbestimmung bei impliziten Folgen1397.3.3 Nachweismöglichkeiten für Konvergenz1397.4 Summenfolgen und unendliche Reihen1437.4.1 Summenfolgen1437.4.2 Unendliche Reihen1447.4.3 Potenzreihen1487.4.4 Exkurs: Erzeugende Funktionen1507.5 Exkurs: Gleichgewichte bei Marktpreisen1527.6 Finanzmathematische Folgen und Reihen1557.6.1 Zinseszinsrechnung1557.6.2 Rentenrechnung1567.6.3 Annuitätenrechnung1577.6.4 Barwert und Endwert1587.6.5 Kapitalwert160Zusammenfassung1618 Differentialrechnung in einer Variablen 1638.1 Funktionsgrenzwerte1638.1.1 Von Folgengrenzwerten zu Funktionsgrenzwerten1638.1.2 Einseitige Funktionsgrenzwerte1658.1.3 Methoden zur Bestimmung von Funktionsgrenzwerten1668.1.4 Divergente und uneigentliche Grenzwerte1698.1.5 Grenzwertverhalten gebrochen-rationaler Funktionen1708.1.6 Asymptoten von Funktionen1718.2 Stetige Funktionen1738.3 Differenzierbare Funktionen1778.3.1 Tangenten an Funktionsgraphen1788.3.2 Ableitung als Grenzwert v