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Inhaltsangabe
1 Einführung.- 1.1 Beispiele partieller Differentialgleichungen.- 1.2 Grundbegriffe und Klassifikation.- 1.3 Einfache Sonderfälle.- 1.4 Problemstellung.- 2. Partielle Differentialgleichungen 1. Ordnung.- 2.1 Die verkürzte homogene lineare Gleichung.- 2.1.1 Begriff.- 2.1.2 Das charakteristische System.- 2.1.3 Fundamentalsystem und allgemeine Lösung.- 2.2 Die allgemeine lineare und quasilineare Differentialgleichung.- 2.3 Das Cauchysche Anfangswertproblem.- 2.4 Nichtlineare Differentialgleichungen 1Ordnung.- 3 Partielle Differentialgleichungen 2. Ordnung.- 3.1 Klassifikation.- 3.2 Cauchysches Problem und Normalformen im Fall n = 2.- 3.3 Partielle Differentialgleichungen mit konstanten Koeffizienten.- 3.4 Elementare Integrationsmethoden.- 3.4.1 Der Exponentialansatz.- 3.4.2 Der Produktansatz (Separationsverfahren).- 3.5 Konstruktion weiterer Lösungen für lineare homogene Differentialgleichungen.- 3.5.1 Zerlegung in Real- und Imaginärteil.- 3.5.2 Linearkombination von Lösungen.- 3.5.3 Reihen von Lösungen.- 3.5.4 Integration über freie Parameter.- 3.5.5 Einführung freier Parameter.- 3.5.6 Faltungsintegrale.- 4 Rand- und Anfangswertprobleme.- 4.1 Allgemeine Bemerkungen.- 4.2 Paraba,che Differentialgleichungen.- 4.2.1 Die Wärmeleitungsgleichung.- 4.2.2 Spezialfälle.- 4.2.3 Anfangs- und Randbedingungen.- 4.2.4 Das 1. ARWP für einen endlich langen homogenen Stab.- 4.2.5 Lösung des homogenen linearen 1. ARWP.- 4.2.6 Das allgemeine lineare 1. ARWP der inhomogenen Wärmeleitungsgleichung.- 4.2.6.1 Homogene Anfangs- und Randbedingungen.- 4.2.6.2 Inhomogene Anfangs-, homogene Randbedingungen.- 4.2.6.3 Inhomogene Anfangs- und Randbedingungen.- 4.3 Hyperbolische Differentialgleichungen.- 4.3.1 Beispiele.- 4.3.2 Die wichtigsten Randwertaufgaben.- 4.3.3 Die eindimensionale Wellengleichung (Saitengleichung).- 4.3.3.1 Lösung nach der Methode von d Alembert.- 4.3.3.2 Lösung nach der Fourierschen Methode.- 4.3.4 Die zweidimensionale Wellengleichung (Membrangleichung).- 4.3.5 Die dreidimensionale Wellengleichung.- 4.4 Elliptische Differentialgleichungen.- 4.4.1 Beispiele.- 4.4.2 Die wichtigsten Randwertaufgaben.- 4.4.3 Harmonische Funktionen bei Kugel- und Zylinderproblemen.- 4.4.4 Die Randwertaufgaben für Kreis und Kugel.- 5 Einführung in die Potentialtheorie.- 5.1 Potentiale.- 5.1.1 Das Newtonsche Potential.- 5.1.2 Das logarithmische Potential.- 5.2 Wichtige Eigenschaften harmonischer Funktionen.- 5.3 Die Greensche Funktion.- 6. Einiges zu nichtlinearen partiellen Differentialgleichungen.- 6.1. Allgemeine Bemerkungen.- 6.2 Elementare Lösungsmethoden.- Lösungen der Aufgaben.- Literatur.- Namen- und Sachregister.
1 Einführung.- 1.1 Beispiele partieller Differentialgleichungen.- 1.2 Grundbegriffe und Klassifikation.- 1.3 Einfache Sonderfälle.- 1.4 Problemstellung.- 2. Partielle Differentialgleichungen 1. Ordnung.- 2.1 Die verkürzte homogene lineare Gleichung.- 2.1.1 Begriff.- 2.1.2 Das charakteristische System.- 2.1.3 Fundamentalsystem und allgemeine Lösung.- 2.2 Die allgemeine lineare und quasilineare Differentialgleichung.- 2.3 Das Cauchysche Anfangswertproblem.- 2.4 Nichtlineare Differentialgleichungen 1Ordnung.- 3 Partielle Differentialgleichungen 2. Ordnung.- 3.1 Klassifikation.- 3.2 Cauchysches Problem und Normalformen im Fall n = 2.- 3.3 Partielle Differentialgleichungen mit konstanten Koeffizienten.- 3.4 Elementare Integrationsmethoden.- 3.4.1 Der Exponentialansatz.- 3.4.2 Der Produktansatz (Separationsverfahren).- 3.5 Konstruktion weiterer Lösungen für lineare homogene Differentialgleichungen.- 3.5.1 Zerlegung in Real- und Imaginärteil.- 3.5.2 Linearkombination von Lösungen.- 3.5.3 Reihen von Lösungen.- 3.5.4 Integration über freie Parameter.- 3.5.5 Einführung freier Parameter.- 3.5.6 Faltungsintegrale.- 4 Rand- und Anfangswertprobleme.- 4.1 Allgemeine Bemerkungen.- 4.2 Paraba,che Differentialgleichungen.- 4.2.1 Die Wärmeleitungsgleichung.- 4.2.2 Spezialfälle.- 4.2.3 Anfangs- und Randbedingungen.- 4.2.4 Das 1. ARWP für einen endlich langen homogenen Stab.- 4.2.5 Lösung des homogenen linearen 1. ARWP.- 4.2.6 Das allgemeine lineare 1. ARWP der inhomogenen Wärmeleitungsgleichung.- 4.2.6.1 Homogene Anfangs- und Randbedingungen.- 4.2.6.2 Inhomogene Anfangs-, homogene Randbedingungen.- 4.2.6.3 Inhomogene Anfangs- und Randbedingungen.- 4.3 Hyperbolische Differentialgleichungen.- 4.3.1 Beispiele.- 4.3.2 Die wichtigsten Randwertaufgaben.- 4.3.3 Die eindimensionale Wellengleichung (Saitengleichung).- 4.3.3.1 Lösung nach der Methode von d Alembert.- 4.3.3.2 Lösung nach der Fourierschen Methode.- 4.3.4 Die zweidimensionale Wellengleichung (Membrangleichung).- 4.3.5 Die dreidimensionale Wellengleichung.- 4.4 Elliptische Differentialgleichungen.- 4.4.1 Beispiele.- 4.4.2 Die wichtigsten Randwertaufgaben.- 4.4.3 Harmonische Funktionen bei Kugel- und Zylinderproblemen.- 4.4.4 Die Randwertaufgaben für Kreis und Kugel.- 5 Einführung in die Potentialtheorie.- 5.1 Potentiale.- 5.1.1 Das Newtonsche Potential.- 5.1.2 Das logarithmische Potential.- 5.2 Wichtige Eigenschaften harmonischer Funktionen.- 5.3 Die Greensche Funktion.- 6. Einiges zu nichtlinearen partiellen Differentialgleichungen.- 6.1. Allgemeine Bemerkungen.- 6.2 Elementare Lösungsmethoden.- Lösungen der Aufgaben.- Literatur.- Namen- und Sachregister.
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