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Resumo Este trabalho tem como objetivo apresentar duas demonstrações do teorema de Van der Waerden: uma via combinatória e outra via Sistemas Dinâmicos, além da demonstração do teorema de Szemerédi, via Teoria Ergódica, explicitando a existência de Progressões Aritméticas em Subconjuntos quaisquer de Z, bem como, discorrer sobre alguns problemas matemáticos históricos que levaram a necessidade desses referidos teoremas, além de discorrer a respeito da possibilidade de Progressões Aritméticas para um conjunto especial, o dos Números Primos. Para tanto, nos valemos da pesquisa bibliográfica. Palavras-chave: Progressão Aritmética, Sistema Dinâmico, Teoria Ergótica,Teorema de Van der Waerden, Teorema de Szemerédi, Números Primos.