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Studienarbeit aus dem Jahr 2015 im Fachbereich Mathematik - Geometrie, Note: 1,0, Friedrich-Schiller-Universität Jena (Fakultät für Mathematik und Informatik), Veranstaltung: Fraktale Geometrie, Sprache: Deutsch, Abstract: Der Begriff „Fraktal“ wurde 1975 vom französisch-US-amerikanischen Mathematiker Benoît Mandelbrot (1924–2010) geprägt und bezeichnet bestimmte natürliche oder künstliche Gebilde oder geometrische Muster. Eine allgemeingültige umfassende mathematische Definition von „Fraktal“ existiert jedoch aufgrund der vielfältigen und unterschiedlichen Eigenschaften „fraktaler Strukturen“…mehr
Studienarbeit aus dem Jahr 2015 im Fachbereich Mathematik - Geometrie, Note: 1,0, Friedrich-Schiller-Universität Jena (Fakultät für Mathematik und Informatik), Veranstaltung: Fraktale Geometrie, Sprache: Deutsch, Abstract: Der Begriff „Fraktal“ wurde 1975 vom französisch-US-amerikanischen Mathematiker Benoît Mandelbrot (1924–2010) geprägt und bezeichnet bestimmte natürliche oder künstliche Gebilde oder geometrische Muster. Eine allgemeingültige umfassende mathematische Definition von „Fraktal“ existiert jedoch aufgrund der vielfältigen und unterschiedlichen Eigenschaften „fraktaler Strukturen“ bislang nicht; selbst für Fraktale typische Eigenschaften wie „Selbstähnlichkeit“ und (gebrochene) „fraktale Dimension“ lassen sich mathematisch schwer einheitlich behandeln.
1Einführung 2Wichtige Begriffe und Bezeichnungen 2.1Selbstähnlichkeit 2.2Fraktale Dimension 2.2.1Die Hausdorff-Dimension 2.2.2Die Boxcounting-Dimension 2.2.3Die Ähnlichkeitsdimension 3Cantor-Mengen 3.1Die Mittel-Drittel-Cantor-Menge 3.1.1Konstruktion und Definition 3.1.2Fraktale Dimension und weitere Eigenschaften 3.1.3Ausblick auf höherdimensionale Verallgemeinerungen 3.2Die generalisierte Cantor-Menge 3.2.1Konstruktion und Definition 3.2.2Fraktale Dimension und weitere Eigenschaften 3.3Die Smith-Volterra-Cantor-Menge 3.3.1Konstruktion und Definition 3.3.2Fraktale Dimension und weitere Eigenschaften 4Koch-Kurven 4.1Die klassische Koch-Kurve 4.1.1Konstruktion und Definition 4.1.2Fraktale Dimension und weitere Eigenschaften 4.1.3Fraktalantennen als technische Anwendung 4.2Die kochsche Schneeflocke 4.2.1Konstruktion und Definition 4.2.2Fraktale Dimension und weitere Eigenschaften 4.2.3Ein Paradoxon mit „unendlich umfangreichen“ Flächen 5Sierpinski-Dreiecke 5.1Das Sierpinski-„Linien-Dreieck“ 5.1.1Konstruktion und Definition 5.1.2Fraktale Dimension 5.2Das Sierpinski-„Flächen-Dreieck“ 5.2.1Konstruktion und Definition 5.2.2Fraktale Dimension und weitere Eigenschaften 5.2.3Variationen und höherdimensionale Verallgemeinerungen 5.2.4Zusammenhang mit dem pascalschen Dreieck 5.3(Sierpinski-)Dreiecke durch Zellautomaten 5.3.1Überblick über Wolframs eindimensionales Universum 5.3.2Sierpinski-Dreiecke in Wolframs eindimensionalen Universum 5.3.3Schneckenhäuser und Wolframs eindimensionales Universum 5.4Deterministisches Chaos und das Chaos-Spiel 5.4.1Deterministisches Chaos 5.4.2 Das Chaos-Spiel 6Literatur und Quellen
1Einführung 2Wichtige Begriffe und Bezeichnungen 2.1Selbstähnlichkeit 2.2Fraktale Dimension 2.2.1Die Hausdorff-Dimension 2.2.2Die Boxcounting-Dimension 2.2.3Die Ähnlichkeitsdimension 3Cantor-Mengen 3.1Die Mittel-Drittel-Cantor-Menge 3.1.1Konstruktion und Definition 3.1.2Fraktale Dimension und weitere Eigenschaften 3.1.3Ausblick auf höherdimensionale Verallgemeinerungen 3.2Die generalisierte Cantor-Menge 3.2.1Konstruktion und Definition 3.2.2Fraktale Dimension und weitere Eigenschaften 3.3Die Smith-Volterra-Cantor-Menge 3.3.1Konstruktion und Definition 3.3.2Fraktale Dimension und weitere Eigenschaften 4Koch-Kurven 4.1Die klassische Koch-Kurve 4.1.1Konstruktion und Definition 4.1.2Fraktale Dimension und weitere Eigenschaften 4.1.3Fraktalantennen als technische Anwendung 4.2Die kochsche Schneeflocke 4.2.1Konstruktion und Definition 4.2.2Fraktale Dimension und weitere Eigenschaften 4.2.3Ein Paradoxon mit „unendlich umfangreichen“ Flächen 5Sierpinski-Dreiecke 5.1Das Sierpinski-„Linien-Dreieck“ 5.1.1Konstruktion und Definition 5.1.2Fraktale Dimension 5.2Das Sierpinski-„Flächen-Dreieck“ 5.2.1Konstruktion und Definition 5.2.2Fraktale Dimension und weitere Eigenschaften 5.2.3Variationen und höherdimensionale Verallgemeinerungen 5.2.4Zusammenhang mit dem pascalschen Dreieck 5.3(Sierpinski-)Dreiecke durch Zellautomaten 5.3.1Überblick über Wolframs eindimensionales Universum 5.3.2Sierpinski-Dreiecke in Wolframs eindimensionalen Universum 5.3.3Schneckenhäuser und Wolframs eindimensionales Universum 5.4Deterministisches Chaos und das Chaos-Spiel 5.4.1Deterministisches Chaos 5.4.2 Das Chaos-Spiel 6Literatur und Quellen
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